Пирамида и призма
Общий исторический обзор
Первые геометрические понятия возникли в доисторические
времена. Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы
растений и животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п. Однако
человек не только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и
использовал ее богатства. В процессе практической деятельности он накапливал
геометрические сведения. Материальные потребности побуждали людей изготовлять
орудия труда, обтесывать камни и строить жилища, лепить глиняную посуду и
натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и сотни тысяч раз натягивали люди
свои луки изготовляли разные предметы с прямыми ребрами и т. п., пока
постепенно дошли до отвлеченного понятия прямой линии. Примерно то же
можно сказать о других основных геометрических понятиях. Практическая деятельность
человека служила основой длительного процесса выработки отвлеченных понятий,
открытия простейших геометрических зависимостей и соотношений.
Начало геометрии было положено в древности при решении чисто
практических задач. Со временем, когда накопилось большое количество
геометрических фактов, у людей появилось потребность обобщения, уяснения
зависимости одних элементов от других, установления логических связей и доказательств.
Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI - V вв. до н. э. в
Древней Греции в геометрии начался новый этап развития, что объясняется высоким
уровнем, которого достигла общественно-политическая и культурная жизнь в
греческих государствах. Произведения, содержащие систематическое изложение
геометрии, появились в Греции еще в V до н.э., но они были вытеснены “Началами”
Евклида.
Геометрические знания примерно в объеме современного курса
средней школы были изложены еще 2200 лет назад в “Началах” Евклида. Конечно, изложенная
в “Началах” наука геометрия не могла быть создана одним ученым. Известно, что
Евклид в своей работе опирался на труды десятков предшественников, среди
которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и Гиппократ, Архит, Теэтет, Евдокс и др.
Ценой больших усилий, исходя из отдельных геометрических сведений, накопленных
тысячелетиями в практической деятельности людей, эти великие ученые сумели на
протяжении 3 - 4 столетий привести геометрическую науку к высокой ступени
совершенства. Историческая заслуга Евклида состоит в том, что он, создавая свои
“Начала”, объединил результаты своих предшественников, упорядочил и привел в
одну систему основные геометрические знания того времени. На протяжении двух
тысячелетий геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была
изложена в “Началах” Евклида. Многие учебники элементарной геометрии во всем
мире представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь переработку книги
Евклида. “Начала” на протяжении веков были настольной книгой величайших ученых.
В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным
изучение свойств геометрических фигур с помощью алгебры. С этого времени начала
развиваться аналитическая геометрия. В XVII - XVIII вв. зарождается и
разрабатывается дифференциальная геометрия, изучающая свойства фигур с помощью
методов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие военного дела и архитектуры
привело к разработке методов точного изображения пространственных фигур на
плоском чертеже, в связи с чем появляются начертательная геометрия,
научные основы которой заложил французский математик Г. Монж, и проективная
геометрия, основы которой были созданы в трудах французских математиков Д.
Дезарга и Б. Паскаля (XVII в.). В ее создании важнейшую роль сыграл другой
французский математик - Ж. В. Понселе (XIX в.).
Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой
половине ХIХ в. великий русский математик Николай Иванович Лобачевский, который
создал новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией
Лобачевского.
Открытие Лобачевского было началом нового периода в развитии
геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б. Римана и
др.
В настоящее время
геометрия тесно переплетается со многими другими разделами математики. Одним из
источников развития и образования новых понятий в геометрии, как и в других
областях математики, являются современные задачи естествознания, физики и техники.
Первоначальное понятие о
многогранниках.
Многогранники и их элементы.
Проблемы нам создают не те вещи,
которых мы не знаем, а те, о которых мы
ошибочно полагаем, что знаем.
В. Роджерс
Определение. Многогранником называется тело, поверхность
которого является объединением конечного числа многоугольников.
В соответствии с общим определением выпуклого множества, многогранник
является выпуклым[1],
если вместе с любыми двумя своими точками он содержит соединяющий их отрезок.
На рисунке показаны выпуклый и, соответственно, невыпуклый многогранники.
|
|
Многоугольник, принадлежащий поверхности многогранника, называется его
гранью, если он не содержится ни в каком другом многоугольнике,
также принадлежащем поверхности многогранника.
Стороны граней называются рёбрами многогранника, а
вершины – вершинами многогранника.
Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной
грани, называются диагоналями этого многогранника.
|
|
Определение. Многогранник называется правильным,
если все его грани – равные правильные многоугольники и из каждой его вершины
выходит одинаковое число рёбер.
|
|
|
Грани
|
Вершины
|
Рёбра
|
Тетраэдр
|
4
|
4
|
6
|
Куб
|
6
|
8
|
12
|
Октаэдр
|
8
|
6
|
12
|
Додекаэдр
|
12
|
20
|
30
|
Икосаэдр
|
20
|
12
|
30
|
Призма n-угольная
|
2n
|
3n
|
n+2
|
Пирамида n-угольная
|
n+1
|
2n
|
n+1
|
Теорема Эйлера.
|
Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого
многогранника справедливо соотношение:
Г+В – Р=2
|
Принцип Кавальери:
|
Если два тела могут быть расположены так, что любая плоскость,
параллельная какой-нибудь данной плоскости и пересекающая оба тела, даёт в
сечении с ними равновеликие фигуры, то объёмы таких тел равны.
|
Призма.
Определение. Призма – многогранник, составленный
из двух равных многоугольников A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов.
|
|
Два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях,
называются основаниями призмы (A1A2…An и B1B2…Bn).
|
Остальные грани призмы, являющиеся параллелограммами, называются её боковыми
гранями (AnA1B1Bn)
|
Рёбра, не лежащие в основании призмы, называются боковыми
рёбрами (A1B1; A2B2 … AnBn)
|
Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к
плоскости другого основания, называется высотой призмы (h).
|
Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через диагональ основания
и боковое ребро призмы.
|
|
Диагональное сечение – фигура, полученная при пересечении диагональной
плоскости с поверхностью призмы.
|
|
Перпендикулярное сечение – сечение призмы плоскостью,
перпендикулярной её боковым рёбрам.
|
|
В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в
перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен
высоте призмы.
|
Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то есть если
основания служат нормальными сечениями боковой поверхности, то призма
называется прямой, в противном случае – наклонной.
Высота прямой призмы равна её боковому ребру. Плоские углы основания являются
плоскими углами двугранных углов между боковыми гранями.
В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её
высота равна диметру окружности, вписанной в основание.
|
|
Площадь боковой поверхности призмы – это сумма площадей всех её боковых
граней.
|
Sбок=Рп*/g/, где Рп – периметр перпендикулярного сечения,
/g/ - длина бокового ребра
|
Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех её граней
|
Sполн=Sбок+2Sосн
|
Объём призмы. Объёмом геометрического тела называется величина
части пространства, занимаемого этим телом.
Доп. справка: в геометрии принято:
·
За единицу объёма
принимают объём куба с ребром единичной длины.
·
Равные тела имеют
равные объёмы
·
Объём объединения
нескольких неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих внутренних точек) тел
равен сумме их объёмов
·
Если одно тело содержит
другое, то объём первого тела не меньше объёма второго
|
V=Sосн*h
|
Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра
основания на высоту призмы.
|
Sбок=Pосн*h
|
Частным случаем призмы является параллелепипед – призма,
основанием которой служат параллелограммы.
|
|
Основные свойства параллелепипеда:
|
1.
Противоположные грани
параллелепипеда попарно равны и параллельны.
2.
Все четыре диагонали
параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
3.
сумма квадратов всех
диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его рёбер.
4.
квадрат диагонали
прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.
|
Если все грани параллелепипеда являются прямоугольниками, то
параллелепипед называется прямоугольным. В нём все диагонали
равны между собой.
Если боковые рёбра параллелепипеда перпендикулярны основанию, то
параллелепипед является прямым.
Куб также является частным случаем призмы.
Куб есть прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.
|
|
Объём параллелепипеда
|
V=S*h
|
Объём прямоугольного параллелепипеда
|
V=abc
|
Объём куба
|
V =a3
|
Диагональ прямоугольного параллелепипеда
|
d2=a2+b2+c2, где d – диагональ, a,b,c – рёбра
|
Пирамида.
Слово «пирамида» в
геометрию ввели греки,
которые, как полагают, заимствовали его
у египтян, создавших самые знаменитые
пирамиды в
мире. Другая теория выводит
этот термин из
греческого слова «пирос»
(рожь) –
считают, что греки выпекали хлебцы,
имевшие форму пирамиды.
Определение. Пирамида – это многогранник, одна
из граней которого – произвольный n – угольник A1A2…An, а остальные грани – треугольники с общей
вершиной.
|
|
Этот n – угольник A1A2…An называется основанием пирамиды.
|
Остальные (треугольные) грани называются боковыми гранями (A2PA3, …, AnPA1)
|
Общая вершина всех боковых граней называется вершиной
пирамиды (P).
|
Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, называются её боковыми
рёбрами (PA1, PA2, …, PAn)
|
Объединение боковых граней пирамиды называется её боковой
поверхностью.
|
Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания,
называется высотой пирамиды (РН).
|
Пирамида называется правильной, если её основание –
правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром
основания, является её высотой.
|
|
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины,
называется апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы равны друг
другу.
|
Если в основании пирамиды лежит n-угольник, то пирамида называется n-угольной.
Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр
называется правильным, если все его рёбра равны (т.о. все грани
правильного тетраэдра – равные правильные треугольники).
|
|
Некоторые свойства правильной пирамиды:
·
Все боковые рёбра равны
между собой
·
Все боковые грани –
равные равнобедренные треугольники
·
Все двугранные углы при
основании равны
·
Все плоские углы при
вершине равны
·
Все плоские при
основании равны
·
Апофемы боковых граней
одинаковы по длине
·
В любую правильную
пирамиду можно вписать сферу
|
Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её
граней.
|
Sполн=Sбок+Sосн
|
|
Площадь боковой грани
|
Sбок.гр.=1/2*m*/g/, где m – апофема, /g/ - основание грани
|
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на апофему.
|
Sбок=1/2 * (Pосн* m), где m
– апофема, Р – периметр многоугольника основания.
|
Объём пирамиды.
|
V=(1/3)*Sосн*h
|
Усечённая пирамида.
Определение. Усечённая пирамида – многогранник,
гранями которого являются n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn (нижнее и верхнее основания),
расположенные в параллельных плоскостях, и n четырёхугольников
A1A2B2B1, A2A3B3B2, …, AnA1B1Bn.
Усечённая пирамида является частным случаем пирамиды.
|
|
Основания усечённой пирамиды – основание исходной пирамиды и
многоугольник, полученный при пересечении её плоскостью (A1A2…An и B1B2…Bn).
|
Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются боковыми рёбрами
усечённой пирамиды.
|
Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к
плоскости другого основания, называется высотой усечённой
пирамиды (СН).
|
Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.
|
Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn.
|
Усечённая пирамида называется правильной, если она
получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники,
а боковые грани – равнобедренные трапеции.
|
|
Высоты этих трапеций называются апофемами (КК1)
|
Свойства усечённой пирамиды:
|
1.
Боковые рёбра и высота
пирамиды разделятся секущей плоскостью на пропорциональные отрезки
2.
В сечении получится
многоугольник, подобный многоугольнику, ежащеему в основании
3.
Площади сечения и
основания будут относится между собой, как квадраты их расстояний от вершины
пирамиды
|
Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями,
параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади
сечений будут пропорциональны площади оснований.
|
Площадь поверхности усечённой пирамиды
|
S=(1/2)*m*(P+P1), где m – апофема
|
Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна
произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
|
Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m – апофема, Рв,
Рн – периметр верхнего и нижнего оснований
|
Объём усечённой
пирамиды:
|
V=(1/3)*h*(S1+√S1S2+S2),
где S1, S2 – площади оснований.
|
Площадь боковой грани
|
Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), где m – апофема, g, g1 – основания боковой грани
|
Тетраэдр.
Определение. Тетраэдр – поверхность, составленная
из четырёх треугольников. Любая грань может быть принята за основание
пирамиды.
Тетраэдр является частным случаем пирамиды.
|
|
Тетраэдр состоящий из треугольников ABC, DAB,
DBC, DCA обозначается так: DABC
|
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями.
|
Стороны треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются рёбрами.
|
Вершины треугольников, из которых состоит тетраэдр, называются вершинами
тетраэдра.
|
Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.
|
Иногда выделяют одну грань тетраэдра и называют её основанием,
а три другие – боковыми гранями.
|
Медианы тетраэдра – отрезки, соединяющие его вершины с
центроидами противоположных граней.
|
|
Тетраэдр, все грани которого равны, называется равногранным.
|
|
Свойства равногранного тетраэдра:
|
- описанный параллелепипед равногранного
тетраэдра – прямоугольный
- развёртка тетраэдра, полученная при разрезании
его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, - треугольник
- у него имеются три оси симметрии
- все трёхгранные углы равны
- все медианы (тетраэдра) равны
- все высоты (тетраэдра) равны
- центры вписанной и описанной сфер и центроид
совпадают
- радиусы описанных окружностей граней равны
- периметры граней равны
- площади граней равны
|
Тетраэдр, в вершине которого сходятся три взаимно перпендикулярных
ребра, называется прямоугольным
|
Для него выполняется своего рода «теорема Пифагора»:
S2=S21+S22+S23
|
Тетраэдр, составленный из четырёх равносторонних треугольников,
называется правильным.
|
|
Объём правильного тетраэдра.
|
V=(a3*√2)/12
|
Радиус описанной сферы в правильном тетраэдре
|
R=(a*√6)/4
|
Высота правильного тетраэдра
|
H=(a*√6)/3
|
Площадь поверхности правильного тетраэдра
|
S=a2*√3
|
Радиус вписанной окружности правильного тетраэдра
|
r = (a*√6)/12
|
Список используемой литературы
- Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996
- Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994
- Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург,
1995
- Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996
[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.