|
|
|
|
|
|
1
|
7
|
-1.4036
|
5.9274
|
1.1504
|
0.1941
|
2
|
16
|
-0.7405
|
12.0665
|
15.4725
|
1.2823
|
3
|
19
|
-0.0774
|
15.8248
|
10.0820
|
0.6371
|
4
|
6
|
0.5857
|
13.3702
|
54.3197
|
4.0627
|
5
|
1.2488
|
7.2775
|
1.6319
|
0.2242
|
6
|
5
|
1.9119
|
2.5519
|
5.9932
|
2.3485
|
7
|
1
|
2.5750
|
0.5765
|
0.1794
|
0.3111
|
В итоге получим = 8.1783
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню
значимости =0,05
и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим
Т.к. , экспериментальные данные не противоречат
гипотезе и о нормальном распределении случайной величины .
6.
Построить график функции плотности
распределения случайной
величины в одной
системе координат с гистограммой.( взяв в качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и
правее правого промежутка группировки.
7.
Выполнить задание 6 для случайной величины .
8.
Найти доверительные интервалы для
математических ожиданий и дисперсий случайных величин и , соответствующие доверительной вероятности .
Найдем доверительный интервал для
математического ожидания :
Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда
требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим
образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =120 находим: =1,980. Тогда требуемый
доверительный интервал примет вид:
То есть: (20,93721;26,12946).
Найдем доверительный интервал для
математического ожидания :
Рассмотрим статистику , имеющую распределение Стъюдента с степенями свободы. Тогда
требуемый доверительный интервал определится неравенством . И доверительный интервал для выглядит следующим
образом:
Найдем по таблицам ([2], стр. 391). По =0,95 и =60 находим: =2,001. Тогда требуемый
доверительный интервал примет вид:
То есть: (20,043;27,056).
Известно, что если математическое ожидание
неизвестно, то доверительный интервал для дисперсии при доверительной
вероятности имеет
вид
Для случайной величины найдем:
.
Таким образом, имеем доверительный интервал: (162,8696; 273,8515).
Для случайной величины найдем
Таким образом, имеем доверительный интервал: (134,82; 277,8554).
(Квантили распределения найдены по таблице [3], стр. 413).
9.
Проверить статистическую гипотезу при альтернативной
гипотезе на уровне
значимости .
Рассмотрим
статистику
,
где
,
которая имеет
распределение Стъюдента ,
Тогда область
принятия гипотезы .
Найдем s:
Найдем значение
статистики :
По таблице квантилей распределения Стъюдента
([2], стр. 391)
Т. к. , то гипотеза принимается. Предположение
о равенстве математических ожиданий не противоречит результатам наблюдений.
10. Проверить статистическую гипотезу при альтернативной гипотезе на уровне значимости.
Рассмотрим статистику , где , т.к. . Эта статистика имеет распределение Фишера . Область принятия гипотезы
Найдем
значение статистики :
По таблицам найдем . Т.к. , то гипотеза принимается. Предположение не противоречит
результатам наблюдений.
Библиографический список
1.
Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3.
Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов /
Под. ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.
2.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов.
Изд. 4-е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.
3.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая
статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш.
школа», 1977.
4.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576
с.