Термодинамическое равновесие гетерогенных плазменных систем с существенной ионизацией компонентов
Министерство образования и науки Украины
Одесский
Национальный Университет им. И.И. Мечникова
Физический
факультет
Кафедра
теплофизики
Термодинамическое
равновесие гетерогенных плазменных систем с существенной ионизацией
компонентов
«допустить к
защите» Курсовая работа
зав. кафедры
теплофизики студентки IV курса
профессор_____Калинчак
В.В. физического факультета
«__» _________
2004г. Кобзаренко Л.А.
Научный руководитель
доцент Маренков В.И.
Одесса
2004 г.
Содержание
Введение
1.
Идеально-газовый
подход при описании ионизации в плазме
с конденсированными частицами
1.1. Ионизация в идеальном газе и плазмозоле. Система
идентичных частиц в буферном газе. Учет ионизации атомов легкоионизируемой
присадки
2.
Дебаевский
подход моделирования гетерогенных кулоновских
систем
2.1.
Объемный
заряд и потенциал в плазмозоле. Зависимость электронной концентрации от
определяющих параметров плазмы
3. Ячеечные модели плазмы, содержащей
частицы
3.1. Ионизация
системы газ – частицы в модели Гибсона
3.2. Режим
слабого экранирования
Выводы
Список
литературы
Введение
Термодинамика рабочих тел МГД-генераторов на
твердом топливе, электрические воздействия на процесс горения с целью его
интенсификации и управления, высокотемпературная конденсация оксидов в
продуктах сгорания металлизированных топлив, проблемы защиты окружающей среды,
поведение пылегазованных образований в атмосфере и космосе, плазмохимия – все
это далеко не полный перечень областей науки и техники, где требуется знание
свойств плазмы с КДФ в различных состояниях.
Плазма с КДФ – ионизированный газ, содержащий
малые частицы или кластеры, при чем эти частицы могут влиять на некоторые
свойства плазмы.
В области температур Т, характерной для приложений НТП с
КДФ, важную роль играют процессы переноса заряда; поглощение электромагнитных
волн в гетерогенной плазме непосредственно зависит от ее ионизации. Явление
переноса – это кинетические процессы, но как известно из статистической физики
[1] и физической кинетики [2], их скорости определяются градиентами
соответствующих величин, т.е. в конечном счете их полем.
Существующие модели ГПС основываются на
известных подходах (Саха, Дебая, а также, появившихся в последнее время,
ячеечных),которые выходят из предположения о малости потенциальных
взаимодействий ГПС, сравнительно с кинетической энергией теплового движения
частиц. Однако, как показывает эксперимент в плотной и высокотемпературной ГПС
ионизации макрочастиц и газовой фазы становится существенней, и в результате
потенциальная энергия заряда плазм в самосогласованном поле сравнивается
больше kT. В этом случаи применение результатов разработанных
ранней моделью становится не корректным и требуется их усовершенствование с
целью охватить интересную для приложения область высоких концентраций и
температур. В работе рассматривается “аналитическая” продолжение статистической
ячеечной модели плазмы на эту область термодинамических параметров. В первом
разделе рассмотрены существующие подходы к описанию состояния ГПС. Второй
раздел посвящен вопросам модификации и распространению статистической модели
квазинейтральных ячеек на область высоких температур и концентраций ГПС.
Идеально-газовый подход при описании ионизации
в плазме с
конденсированными частицами.
Ионизационное
равновесие идеальных газов в термодинамических равновесных системах
определено термодинамическими параметрами газа (Т, Р, V) и рассчитывается методам
статистической физики. В системах, находящихся в равновесии, средние
концентрации газовых частиц с течением времени не изменяются. Это значит, что
скорости прямых и обратных химических реакций равны и выполняется закон
действующих масс [1]. Рассматривая равновесную термическую ионизацию идеальных
газов как баланс различных реакций ионизации и рекомбинации, Саха получил
выражение для константы ионизационного равновесия в разреженном газе [3]. В
настоящей главе рассмотрены основные физические аспекты такого подхода и его
распространение на системы, содержащие частицы конденсированной дисперсной фазы
(КДФ).
Ионизация в идеальном газе и
плазмозоле.
Согласно определению идеальный газ – это
система, состоящая из точечных молекулярных частиц, взаимодействующих только
при столкновении, т.е. при их сближении на расстояния, сравнимые с их
собственными размерами, которые пренебрежимо малы по сравнению с межчастичными
расстояниями.
Если молекулы газа ионизовать, то в газовой
фазе появляются заряды – электроны и ионы, которые взаимодействуют между собой
кулоновскими силами. Эти силы дальнодействующие [4], и каждый атомарный заряд
(электрон, ион) в данном случае подвергается действию всех других зарядов в
системе. Однако, если его электростатическое взаимодействие с полем,
создаваемым в месте локализации этого заряда всеми другими зарядами системы,
мало по сравнению со средней кинетической энергией его поступательного движения
(κТ), свойства ионизованного газа приближаются к свойствам идеального, а
поправки на неидеальность также оказываются малыми [1, с.264].
Моделирование
равновесных электрофизических свойств газа направлено прежде всего на получение
зависимостей концентрации заряженных частиц от определяющих параметров системы
– температуры Т, исходных концентраций компонентов nj (j нумеруют сорт молекул и атомов, потенциалы ионизации компонентов Iaj).
Действительно, с точки зрения практического
использования, электронная и ионная концентрации в газе – наиболее интересные
величины, так как ими определяются процессы переноса заряда. Газ содержит
электроны, ионы, нейтральные молекулы и атомы. Характерной особенностью такого
ионизованного газа является его квазинейтральность, т.е. вследствие
электростатических взаимодействий в достаточно малых областях, занятых газом,
наблюдается компенсация положительных и отрицательных зарядов (суммарный заряд
такой области с точностью до флуктуации равен нулю).
Квазинейтральность – основное свойство
плазменных сред и частично ионизованный газ в состоянии равновесия также
обладает этим свойством. Согласно принципу детального равновесия, каждый канал
ионизации (процесс, приводящий к появлению свободных электронов в объеме)
скомпенсирован противоположным ему процессом рекомбинации так, что средние
концентрации атомарных зарядов сохраняются. Таким образом, в газовой плазме
непрерывно идут конкурирующие процессы: ионизация – рекомбинация, причем
генерация и исчезновение электронов вследствие этих процессов скомпенсированы,
а движение молекулярных зарядов происходит так, что в плазме наблюдается
квазинейтральность. Обратимая реакция ионизации нейтрального
атома:
,
(1.1.1)
где А –
нейтральный атом; М – произвольная частица (молекула, электрон, фотон, другой
атом и т.д.), А+ - положительный ион, е- - электрон.
Аналогичным образом можно записать все
прочие реакции, сопровождающиеся генерацией и исчезновением заряженных частиц в
плазме. Для реакции (1.1.1) условие равновесия принимает вид
,
(1.1.2)
где μа,
μi, μe-химические потенциалы соответственно
атома, иона и электрона, μm входят справа и слева в равенство (1.1.2) и могут быть
сокращены.
Пренебрегая взаимодействием между компонентами
газовой плазмы, химический потенциал компонента α определим по формуле для
идеального газа [1]:
,
(1.1.3)
где Sα – статистическая сумма;
;
(1.1.4)
- число частиц сорта α в объеме
плазмы V.
В (1.1.4)
суммирование распространено на все состояния n частиц сорта α; qαn – статистический вес, а множитель exp(-Eαn/kT)
определяет относительную вероятность состояния частицы с энергией Eαn (величина Eαn должна отсчитываться от
общего уровня энергии группы частиц, участвующих в рассматриваемой реакции).`
Подставляя
(1.1.3) в ( 1.1.2), получаем условие равновесия
или
.
(1.1.5)
Уточним (1.1.4) для статистических сумм S (для
простоты индекс α опускаем). Входящая в (1.1.4) полная энергия Е частиц
слагается из энергии внутренних степеней свободы j и энергии поступательного движения К.
следовательно, (1.1.4) можно записать следующим образом:
, (1.1.6)
где означает суммирование по внутренним
состояниям, а -
по скоростям.
Выделив энергию основного состояния частицы
ε0, представим первую из сумм (1.1.6) в виде
, (1.1.7)
где Q – “внутренняя” статистическая сумма.
Поскольку энергия ε0
отсчитывается от общего уровня системы, то, очевидно, разность энергии системы
электрон – ион до и после ионизации равна энергии ионизации атома, т.е.
.
(1.1.8)
Именно эта разность энергий (потенциал
ионизации атома) входит в выражение для отношения статистических сумм (1.1.5).
Внутренние статистические суммы атомов и ионов
можно определить следующим образом [5, с.102]:
,
(1.1.9)
где квантовые числа l и s
определяют орбитальный момент количества движения и спин. При kT<Δε1
(что обычно выполнено для низкотемпературной плазмы(НТП)) члены суммы (1.1.9)
очень быстро уменьшаются. При расчетах для атомов в этой сумме можно
ограничится двумя членами, для ионов – одним. Электроны внутренней структуры не
имеют, поэтому их внутренний статистический вес Q=2, он соответствует двум
направлениям спина.
Статистическую сумму, связанную с
поступательными степенями свободы, определим, основываясь на квазиклассическом
приближении квантовой механики [6, с.198]. Размер шестимерной ячейки,
соответствующей одному состоянию, находим из соотношения неопределенности
.
(1.1.10)
.
(1.1.11)
Подставляя
(1.1.11) в выражение для статистической суммы , получаем
(1.1.12)
Заменяя
суммирование по скоростям интегрированием, находим
(1.1.13)
Используя полученное
выражение для частиц всех сортов, участвующих в реакции (1.1.1), и учитывая
(1.1.8), преобразуем (1.1.5) к виду
(1.1.14)
Эта формула,
определяющая константу ионизационного равновесия, называется формулой Саха. По
аналогии с предыдущим можно получить цепочку уравнений Саха для
последовательности степеней ионизации атома, т.е. для реакций
,
где К – кратность
ионизации. При этом в формулах Саха
(1.1.14’
)
будут
фигурировать потенциалы ионизации Ik, которые равны энергии ионизации иона с зарядом Кe. Поскольку значения Ik для К>1 быстро возрастают , в
области температур 1000…3000 К, характерной для низкотемпературной плазмы,
будет в основном наблюдаться однократная ионизация атомов. Закон сохранения
числа частиц и заряда α определенного сорта совместно с цепочкой уравнений
Саха (1.1.14') представляет замкнутую систему уравнений, описывающую
ионизационное равновесие в газовой плазме.
В качестве
примера рассмотрим ионизацию атомов калия в аргоне. При неизменной температуре
Т плазмы повышение исходного содержания атомов калия nA приведет к увеличению равновесной
плотности электронов в плазме. Поскольку , в пренебрежении более высокими степенями
ионизации атомов калия запишем систему ионизационных уравнений:
(1.1.15)(1.1.15’)(1.1.15’’)
где (1.1.15) –
уравнение Саха для однократной ионизации; (1.1.15’) – закон сохранения числа
частиц (исходное содержание присадки калия в результате реакций ионизации не
меняется); (1.1.15’’) – закон сохранение заряда (концентрация электронов в
системе определяется числом ионизованных атомов калия).
Вводя обозначение
(1.1.16)
и используя
(1.1.15’) и (1.1.15’’), преобразуем (1.1.15) к виду
.
(1.1.17)
Последнее
уравнение имеет очевидное решение
,
(1.1.18)
которое и
определяет однократную ионизацию атомов калия в плазме по Саха.
На рис.1.
показаны расчетные зависимости концентрации электронов в НТП, образованной
атомами аргона и калия для температур плазмы Т= 1000, 2000, 3000 К, от
исходного содержания атомарного калия nA.
Источниками
электронов в высокотемпературном электронейтральном газе могут быть и частицы
КДФ с малой работой выхода электронов W. В этом случае появляется специфическая плазменная среда – плазмозоль
[7], т.е. система нейтральный молекулярный газ с высоким потенциалом ионизации
+ свободные электроны, эмиттированные частицами КДФ + заряженные макрочастицы,
обменивающиеся электронами с газовой фазой. Отличительные черты такой системы:
возможность приобретения частицами КДФ больших (макроскопических)
|
|
Рис.1. Ионизация атомов калия в аргоне
(концентрационная зависимость)
|
|
зарядов, наличие у макрочастиц собственного
объема, сравнимого с размерами микронеоднородностей в системе, фактически
всегда наблюдаемая полидисперсность КДФ.
В связи с широким
применением гетерогенных плазменных сред в ряде современных областей
энергетики(МГД–генераторы на твердом топливе, управление процессом горения
[8]) и технологии (высокотемпературные гетерогенные процессы [9], плазменное
напыление [10] и др.), описание термоионизации в НТП с КДФ вызывают в
настоящее время значительный интерес [11]. Возможность воздействия на
ионизацию среды посредством частиц КДФ была доказана в экспериментах по
измерению концентрации электронов в плазме углеводородных пламен [12,13].
Система идентичных частиц в
буферном газе.
Наиболее простая
модель плазмозоля [14] предполагает, что имеется “ансамбль” идентичных
сферических частиц КДФ, обменивающихся электронами с химически нейтральным
буферным (несущим) газом. Система неограниченна, и температура всех подсистем:
газа, КДФ, электронов – постоянна и равна Т. Равновесная реакция ионизации
макрочастицы с зарядовым числом
(1.2.1)
как и ранее,
описывается методами расчета равновесных химических систем. Поскольку
конденсированные частицы (КЧ) в такой модели представляют собой фактически
гигантские молекулы, то в константы равновесия реакций (1.2.1) (соответствующие
константы Саха) должна войти разность энергии до и после ионизации КЧ. Эта
размерность и является потенциалом ионизации m – кратно заряженной частицы КДФ, который в моделях
выбирается равным
,
(1.2.2)
где W – работа выхода с поверхности
вещества частиц; e – заряд электрона; rp – радиус сферической частицы.
Выбор потенциала ионизации частицы КДФ в виде
(1.2.2) фактически означает предположение, что электрон, покидающий КЧ,
затрачивает энергию, равную работе выхода с поверхности вещества незаряженной
частицы, плюс работа, связанная с кулоновским взаимодействием между
эмиттирующей КЧ и излучаемым электроном. Она равна кулоновской энергии
электрона на поверхности КЧ только для уединенных макрочастиц или для
достаточно разреженных систем. Действительно, в этом случае можно пренебречь
эффектами объемного заряда и их влиянием на работу по удалению электрона.
На основе
идеально-газовых представлений, как и ранее [(1.1.14), (1.1.14’), (1.1.15),
(1.1.15’), (1.1.15’’)], получим соотношение для концентраций КЧ:
(1.2.3)
где Qm, Qm-1 – статистический вес соответственно m- и (m-1) – кратно ионизованной частицы КДФ; me – масса электрона; h и k – постоянные Планка и Больцмана.
Обозначив n0 концентрацию нейтральных КЧ в
системе, построим цепочку уравнений Саха (1.2.3), считая что для макрочастиц Qm/Qm-1=1. Частицы плазмозоля с положительными зарядами дают
последовательность уравнений, которыми определяются все более высокие степени
ионизации отдельной КЧ. Таким образом, получаем набор уравнений для процессов
термоэмиссии электрона с поверхности идентичных сферических частиц с
зарядами qm-1=(m-1)e, где m = 1, 2, 3, …, :
(1.2.4)
В уравнениях
(1.2.4) К обозначена константа Саха для процесса термоэмиссии электрона с
поверхности незаряженной частицы плазмозоля, т.е. для реакции . Выражая из m – го уравнения с помощью , которое в свою очередь, можно
выразить из (m-1) – го уравнения, и так далее,
продолжая этот процесс вплоть до первого уравнения системы (1.2.4), получаем
.
(1.2.5)
После некоторых
преобразований произведение в последней формуле запишем так:
.
(1.2.6)
В данном случае введены обозначения
(1.2.7)
Аналогично для отрицательных степеней
ионизации дисперсных частиц получим:
(1.2.8)
По последнему
уравнению (1.2.8) найдем .
Выразим далее из
предыдущего уравнения этой системы и подставим его в выражение для . Продолжив, как и ранее,
этот процесс вплоть до первого уравнения (1.2.8), окончательно получим
.
(1.2.9)
Уравнения (1.2.5)
и (1.2.9) связывают концентрацию нейтральных частиц КДФ в плазмозоле с
концентрациями m –кратно ионизованных
положительных(1.2.9) макрочастиц. Совместно с законом сохранения заряда
(1.2.10)
и условием
сохранения полного числа КЧ в плазмозоле
(1.2.11)
(np – концентрация частиц КДФ) они
позволяют определить замкнутую систему уравнений термоионизационного равновесия
в плазмозоле идентичных частиц. Из (1.2.10) и (1.2.11) можно найти среднюю
ионизацию частиц КДФ, т.е. их среднее зарядовое число:
(1.2.12)
и относительную концентрацию
электронейтральных макрочастиц в системе
.
(1.2.13)
Как показал Саясов, соотношения, аналогичные
(1.2.12) и (1.2.13), могут быть преобразованы с помощью эллиптических θ –
функций к удобному для математического анализа виду:
(1.2.14)
(1.2.15)
Здесь
(1.2.16)
m=1,2,… .
На основе таблиц
θ –функций построены зависимости lg(ne/K) от lg(np/K) при
различных
значениях параметра σ2, охватывающие достаточно широкий
диапазон изменения размеров КЧ rp и температур Т монодисперсного плазмозоля.
После некоторых
преобразований приходим к формуле Эйнбиндера, которая достаточно точна для
высоких степеней ионизации частиц.
На рис.2 в
координатах (lg rp, lg T), изображена область применения формулы
(1.2.17)
к описанию
ионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Множество точек
плоскости (rp, T), соответствующее заштрихованной
области I, выделяет состояния
плазмозоля, для которых с относительной погрешностью применима приближенная формула
Эйнбиндера (1.2.17).
Эта формула является следствием
идеально-газового приближения, т.е. получена без учета влияния микрополей на
ионизацию частиц, а следовательно, корректна для систем газ – макрочастицы, в
которых влиянием этих полей на ионизационные процессы можно пренебречь.
Точность (1.2.17) повышается с усилением ионизации частиц КДФ, однако при этом
все более начинают сказываться эффекты объемного заряда, что ограничивает его
применимость “сверху” (в области больших зарядов свойства плазмозоля не могут
аппроксимироваться идеально-газовым приближением).
Область II на рис.2, ограниченная координатными
осями и линией ρ=1 (линия I),
соответствует состояниям плазмозоля, которые = 2πσ2 ≤
1, так что exp(-πρ) ≤ 0.1 и
в (1.2.14) для среднего заряда КЧ логарифмическую производную d/dy(lnθ3(y, ρ)) удобнее представить в виде
разложения по параметрам y΄ и ρ´ [15, с.96]:
(1.2.18)
Распределение
частиц КДФ по зарядам можно найти, используя (1.33), по которой определяют
также относительную концентрацию дисперсных частиц с зарядовым числом m. Оно совпадает с нормальным
(гауссовским) распределением [16], в котором σ имеет смысл дисперсии
распределения.
В случае малой
дисперсии σ2<<1 или ρ≤1, т.е. состояний
плазмозоля, соответствующих точкам области II, имеем резкое распределение по зарядам и термоионизационное равновесие
лимитируется основной реакцией
.
(1.2.19)
Здесь (E-Entier (целая часть) от y), т.е. большинство частиц в системе имеет кратность ионизации и , а средний заряд y - центр распределения Гаусса
удовлетворяет неравенствам ≤ y ≤.
При высокой степени ионизации частиц ne/n=z>>1 приближение Эйнбиндера
можно распространить на всю область параметров rp, np и значение yz. Причем связь между ne – средней концентрацией электронов и
средним зарядом конденсированной частицы в соответствии с (1.2.19)
(1.2.20)
где .
В случае сильной
ионизации частиц ,
так что (1.2.20) фактически совпадает с формулой, полученной Сагденом и Тращем
из решения кинетической задачи о термоэмиссии электронов с идентичных частиц с
зарядом ze.
В газовой фазе
могут присутствовать легкоионизующиеся атомы (обычно атомы щелочных металлов) в
виде естественных добавок (плазма продуктов сгорания) или вводится
дополнительно с целью повышения ионизации. Наличие ионизующихся атомов в
газовой подсистеме приводит к необходимости учета сложного баланса объемных и
поверхностных процессов, определяющий межфазный обмен энергией, массой,
импульсом и электрическим зарядом в НТП с КДФ. При этом частицы КДФ, являясь
источниками и стоками электронов, могут как повышать в плазме ne, так и способствовать ее понижению.
1.3.
Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки.
Основные
предположения модели плазмы с макрочастицами, содержащей атомы легко
ионизующихся элементов (щелочных металлов), следующие: в состоянии
термодинамического равновесия температуры газа и частиц одинаковы; каждая из
макрочастиц с точностью до флуктуаций сохраняет свой равновесный заряд ze; в газовой фазе сохраняются
неизменными средние концентрации атомных зарядов – электронов и ионов.
В модели
Лукьянова предполагается, что равновесная система неограниченна, а “частичная”
подсистема (ансамбль частиц КДФ) состоит из однородно ионизованных (имеющих
один и тот же заряд q=ze) идентичных сферических частиц
радиуса rp с работой выхода W. Связь между концентрацией
электронов ne в газовой фазе и зарядом
отдельной дисперсной частицы определяется с помощью формулы Ричардсона –
Дешмана [17,с.213] для плотности тока термоэлектронной эмиссии с поверхности
КЧ. Этот ток уравновешивается потоком электронов прилипания, т.е. тех газовых
электронов, которые за единицу времени “оседает” на частицы КДФ. В результате
получаем уже известную формулу (1.2.20), в которой заменено :
.
(1.3.1)
Кроме частиц КДФ,
в газовой фазе присутствуют легко ионизующиеся щелочные атомы, которые также
вносят свой вклад в равновесную концентрацию электронов ne. Пренебрегая влиянием микрополей на
ионизацию атомарных частиц запишем для них формулу Саха (см. (1.1.16)):
.
(1.3.2)
Учитывая более
высокие степени ионизации атомов, получаем цепочку уравнений Саха. Однако для
интервала температур Т=2000….3500 К вклад этих степеней пренебрежимо мал, и в
систему ионизационных уравнений входит только первое – (1.3.2). Используя
условия электронейтральности плазмы и закон сохранения массы для щелочной
компоненты, получаем замкнутую систему термоионизационного равновесия:
(1.3.3)
Система (1.3.3) записана в принятых
обозначениях и представляет собой систему ионизационных уравнений Лукьянова
[18].
На рис.3 показаны расчетные зависимости
концентрации электронов (рис.3.а) и заряда частиц окиси алюминия (рис.3.б) от
исходного содержания щелочных атомов (атомов калия), полеченных в [18]. Линии I и 2 соответствуют размерам rp частиц
Al2O3. Штриховая линия 3 определяет ионизацию в чисто газовой плазме с теми же
параметрами. Она проведена для наглядности несколько выше, поскольку для nA>1012cм-3 практически сливается с линиями
1,2. Видно, что при малых концентрациях щелочных атомов (nA<2108см-3)
частицы КДФ способствуют повышению концентрации электронов в газовой фазе по
сравнению с чисто газовой системой в тех же условиях (при таких же температуре
и парциальном давлении щелочных атомов).
При более высоких концентрациях атомов
щелочной присадки оказывается деонизирующее влияние дисперсных частиц: их заряд
отрицателен и они служат стоками электронов (рис.3.б). Дальнейшее повышение
концентрации легко ионизующихся атомов приводит к росту ne и его асимптотическому приближению (“снизу”) к зависимости по Саха, т.е.
формулой (1.1.18). Вне зависимости от размера заряд дисперсных частиц проходит
через 0 при значении ne=ns.
Преобразуем систему (1.3.3) к удобному для
аналитического рассмотрения виду. Из первого и четвертого уравнений .Используя второе и третье
уравнения (подставляем выражение для ni в третье уравнение, из него ne выражаем z и
определяющие параметры системы KS, np, nA; подставляем это соотношение в левую часть
второго уравнения), окончательно получаем
(1.3.4)
Трансцендентное уравнение (1.3.4)
относительно зарядового числа z дисперсной частицы в символическом виде
запишем так:
Ψ(z)=0 (1.3.5)
Уравнение (1.3.5) однозначно решает вопрос об
ионизации частиц и газа в модели, в которой не учитываются эффекты объемного
заряда, существенно влияющие на электрон-ионные процессы в плазме. Как
показывают эксперименты, отрицательные заряды частиц КДФ в плазме со щелочными
присадками достаточно велики (z≥104), что ограничивает
применимость этой модели. По характеру используемых физических допущений ее
следует отнести к классу идеально-газовых моделей.
2.
Дебаевский подход моделирования гетерогенных кулоновских систем.
Модели
дебаевского типа заимствуют представления из теории слабых электролитов Дебая –
Хюнкеля [19]. Каждая частица КДФ, как и ион [19], поляризует свое окружение,
что приводит к появлению избыточного усредненного заряда в окрестности
выделенного (рассматриваемой частицы КДФ), т.е. к эффектам электростатического
экранирования. Закон распределения избыточного заряда в окрестности КЧ
определяется больцмановской статистикой для концентраций заряженных частиц в
самосогласованном электростатическом поле в системе координат частицы.
Распределение потенциала φ и объемного заряда ρ (избыточного заряда) подчинены
уравнению Пуассона. Совместно с законом сохранения заряда для объема, занятого
плазмой, а также больцмановскими распределениями зарядов в поле частицы, оно
составляет замкнутую систему уравнений для зарядового числа z выделенной КЧ.
2.1.
Объемный заряд и потенциал в плазмозоле.
Рассмотрим
бесконечную среду, содержащую идентичные сферические частицы КДФ, равномерно
распределенные в нейтральном газе с высоким потенциалом ионизации (Iq>>kT), T – температура газа и частиц. В результате электростатических
взаимодействий локальные концентрации электронов и дисперсных частиц в
окрестности выделенной КЧ отличаются от средних по объему, и избыточный заряд вблизи КЧ (фактически
усредненная по времени плотность электростатического заряда среды в системе координат КЧ)
будет
(2.1.1)
где - радиус вектор точки, z – средний заряд КЧ, e – элементарный заряд.
В (2.1.1) предполагается,
что все частицы КДФ имеют один и тот же –заряд z.
Распределение
избыточного заряда (2.1.1) и самосогласованного потенциала связаны уравнением Пуассона
. (2.1.2)
Электронейтральные
молекулы буферного газа, поляризуясь в поле КЧ, также вносят свой вклад в
экранирование. Поэтому в правую часть (2.1.2) должна входить (в общем случае)
диэлектрическая проницаемость . Однако, для рассматриваемых давлений
(р~1….10 МПа) 1 и не учитывается.
Поскольку система
неограниченна и в ней нет выделенных направлений, оператор Лапласа Δ в
(2.1.2) содержит только радиальную часть, а функции точки - локальные концентрации электронов и частиц будут зависеть только от
расстояния .
Интегрируя уравнение (2.1.1) по всему объему плазмы, не содержащему выделенной
КЧ, для изотропного случая (сферически симметричное распределение избыточного
заряда) получаем
.
(2.1.3)
Уравнение (2.1.3)
отражает факт электронейтральности плазмозоля. Локальные концентрации и связанны с усредненными по объему
концентрациями ne и np больцмановскими соотношениями:
(2.1.4)
Отметим, что
(2.1.4) справедливы только в случае слабой ионизации дисперсных частиц, т.е.
при . В этом
приближении они допускают линеаризацию.
Из уравнения (2.1.1), которое определяет
избыточный заряд в окрестности рассматриваемой КЧ и условия, вытекающего из
закона сохранения заряда для среды в целом,
znp-ne=0
, (2.1.5)
находим связь
между распределением усредненного электростатического потенциала и избыточного заряда . Окончательно приходим к
дифференциальному уравнению 2-го порядка для избыточного заряда в окрестности заданной КЧ:
.
(2.1.6)
Посредством D2 (квадрат дебаевского радиуса для
плазмозоля идентичных частиц) обозначена константа
(2.1.7)
Граничные условия
для дифференциального уравнения (2.1.6) можно записать из следующих физических
соображений:
1) в
плазмозоле идентичных эмитирующих частиц усредненная плотность
объемного заряда у
поверхности КЧ должна определяться балансом потоков электронов эмиссии и
прилипания (потока газовых электронов, поглощенных поверхностью КЧ);
2) на
бесконечности (при r)плотность избыточного заряда должна
обращаться в нуль. Таким образом, приходим к граничным условиям Дирихле
(задаются значения самой функции – плотности избыточного заряда (r) на поверхности
КЧ и вдали от нее):
θ(r)=θ; θ()=0. (2.1.8)
Отбросив растущее на бесконечности частное
решение (2.1.6), представим выражение для избыточного заряда θ(r) в
виде
(2.1.9)
Подставляя его в уравнение
электронейтральности плазмоля (2.1.3) и производя интегрирование, получаем
.
(2.1.10)
Таким образом, имеем трансцендентное уравнение
для зарядового числа КЧ в плазмозоле. Поверхностная плотность избыточного
заряда параметрически
зависит от электростатического заряда z и определяется как
(2.1.11)
где Q – отношение статистических весов частицы p в
зарядовых состояниях z+1 и z; Фz – работа выхода электрона с поверхности
заряженной частицы радиуса rp.
Вследствие наличия собственных размеров
частицы КДФ не могут приблизиться на расстояния r<2rp и поэтому объемный заряд на поверхности (при r=rp+0) КЧ равен плотности электронной компоненты.
Подставляя (2.1.11) в (2.1.10), получаем
уравнение для среднего зарядового числа z КЧ в плазмозоле. Решив это уравнение
относительно z и подставив найденное значение корня в условие
электронейтральности среды (2.5), получим среднее значение концентрации
электронов в газовой фазе:
ne=znp.
(2.1.12)
Таким образом, уравнения (2.1.10) – (2.1.12)
полностью решают вопрос об ионизационном равновесии в плазмозоле идентичных
сферических частиц в рамках дебаевского рассмотрения.
Гетерогенная
плазма, состоящая из двух подсистем: “частичной” – заряженных частиц КДФ и
газовой – нейтрального буферного газа с эмитированными КДФ электронами,
характеризуется параметрами, на основе которых можно однозначно в рамках
той или иной модели рассчитать ее равновесный состав. Кроме термодинамических
параметров (T, P, V), характеризующих плазму в целом, каждая из подсистем определяется
своими параметрами. Для ансамбля макрочастиц КДФ – это их размер или функция
распределения по размерам в полидисперсной системе, работа выхода W вещества частиц. Свойства атомарных
частиц в газовой фазе определяются потенциалами ионизации Ij парциальными давлениями компонент Pj, т.е. счетными концентрациями
атомарных частиц каждого сорта nAj.
Основная цель описания термической ионизации в
любой из моделей – построение зависимостей электрофизических параметров системы
(плазмы с КДФ) от ее определяющих параметров. При математической формулировке
задачи физическая модель обычно сводится к решению соответствующей системы
уравнений сохранения и кинетики, записанной для термодинамического равновесия.
После преобразований системы ионизационных уравнений приходят в конечном итоге
к решению трансцендентного уравнения (см., например (1.2.14)), выражающего
функциональную связь между определяющими – исходными параметрами задачи и
искомыми (в данном случае электрофизическими). Так, уравнение
(2.2.1)
связывает усредненный заряд дисперсной
частицы, а значит, и концентрацию электронов ne=znp, со всеми остальными параметрами, характеризующими плазмозоль, а именно:
температурой Т, размером частиц КДФ rp, их концентрацией np (входит в определение D), работой выхода с поверхности материала
частиц W.
Таким образом, исследование зависимости
концентрации электронов ne в
равновесном плазмозоле идентичных частиц от определяющих параметров (Т, rp, np, W) можно проводить на основе анализа решения
(2.2.1) в пространстве параметров задачи. Общие параметры Т, np характеризуют систему в целом, а rp, W определяют свойства отдельных макрочастиц.
Если добавить сюда искомые параметры z и np, то каждая точка (Т, rp, np, W, z, ne) в пространстве параметров задачи будет
определять некоторое состояние ионизации в плазмозоле. Причем реализующимся
состояниям соответствуют точки, которые лежат на “поверхности”, задаваемой в
пространстве параметров (2.2.1). Это уравнение множеству точек (Т, rp, np, W) ставит в соответствие множество решений
задачи (z, ne).
Символически связь между z и
определяющими параметрами запишем так:
F(z, T, W, np, rp)=0
(2.2.2)
3. Ячеечные модели
плазмы, содержащей частицы.
Расчет равновесных состояний ионизации в
системах с сильным кулоновским взаимодействием частиц конденсированной фазы
(К-фазы) и газа, т.е. в случае, когда
,
(3.1)
не может быть реализован в рамках дебаевского
рассмотрения, так как в правой части уравнения Пуассона (2.1.2) не
представляется возможным связать средние по объему концентрации заряженных
частиц с их локальными концентрациями в системе координат выделенной КЧ. Это
привело к появлению моделей, использующих решение нелинейного уравнения
Пуассона в ограниченной области – ячейке [20]. В существующих моделях этого
класса для плазмозолей концентрация электронов вблизи поверхности КЧ определена
законом термоэмиссии, а область электронейтральности содержит одну –
сферическая симметрия (модель Гибсона [20], ее модификация) или две –
цилиндрическая симметрия – частицы КДФ одинакового размера, которые в последнем
случае могут отличаться сортом.
Главная особенность этих моделей в сферически
симметричном случае – предположение о том, что весь объем плазмы можно
заменить совокупностью сферических ячеек, каждая из которых содержит строго
одну из идентичных сферических частиц. Для случая двух сортов частиц К-фазы
объем плазмозоля заменяется совокупностью цилиндрических ячеек, содержащих две
либо одинаковые, либо различающиеся сортом дисперсные частицы. Граничные
условия для нелинейного уравнения Пуассона (2.1.2) выбираются на поверхности КЧ
и на границе ячейки. Эти идеи распространяются на случай существенной
нелинейности в правой части (2.1.2).
Статистический подход к моделированию
электрофизических свойств НТП с КДФ, по характеру используемых представлений
также может быть отнесен к классу ячеечных. Здесь ограниченная область
экранирования выделенной КЧ является усредненным по ансамблю Гиббса
электронейтральным объемом, в котором КЧ находится в последовательные моменты
времени. Рассмотрим специфические особенности ячеечного подхода согласно
работе Гибсона [20], в которой впервые изучена возможность распространения
результатов, полученных для индивидуальных частиц К-фазы в ячейке на весь
объем, занятый гетерогенной плазмой.
3.1. Ионизация
системы газ – частицы в модели Гибсона.
В состоянии термодинамического равновесия
распределение потенциала и
объемного заряда тесно
связаны между собой и подчинены уравнению Пуассона (2.1.2). Термоионизационное
равновесие системы газ – частицы будет полностью определено, если одновременно
найдены оба распределения: заряда ρ и потенциала φ. Таким образом,
описать ионизацию в плазме газ – частицы – значит решить уравнение Пуассона при
некоторых упрощающих предположениях, используемых в модели.
В [20] предполагается, что в плазмозоле
идентичных частиц (в системе макрочастицы + излученные ими электроны +
электрически и химически нейтральный буферный газ) в состоянии
термодинамического равновесия наблюдается однородная ионизация дисперсных
частиц (все частицы К-фазы имеют один и тот же заряд q=ze, z –
зарядовое число, е – элементарный заряд). Плазма электрически нейтральна, а
распределения объемного заряда электронов и потенциала в плазме связаны
больцмановским коэффициентом, т.е. электроны в поле частиц распределены по
Больцману:
,
(3.1.1)
где r – расстояние от центра макрочастицы; neb – концентрация электронов на расстоянии b от выделенной КЧ; - электростатический
потенциал; k – постоянная Больцмана; T –
температура; b – радиус сферически-симметричной ячейки, в которой,
согласно основному допущению модели [20], частица КДФ оказывается полностью за
экранированной электронным газом, т.е.
(3.1.2)
Радиус b определяется объемом, отведенным в плазмозоле
на одну дисперсную частицу:
.
(3.1.3)
Связь электронной плотности в ячейке с
распределением электростатического потенциала задается уравнением (2.1.2), которое запишем:
.
(3.1.4)
Учитывая граничные условия (3.1.2), имеем
задачу Коши. Ее решение параметрически
зависит от концентрации электронов на границе ячейки neb. Если при этом известна электронная концентрация на поверхности КЧ, т.е.
для r=rp – радиусу частиц конденсата, приходим к
замкнутой системе уравнений для определения концентрации электронов в плазме.
Действительно, из уравнения Пуассона (3.1.4) находим параметрическую
зависимость потенциала в ячейке от neb. Подставляя эту зависимость в распределение
Больцмана (3.1.1) и учитывая, что , можно в символическом виде записать
.
(3.1.5)
Таким образом, получили трансцендентное
уравнение относительной переменной neb. Разрешив его относительно neb и подставив neb в уравнение, выражающее факт
электронейтральности ячейки, получим значение среднего заряда КЧ в плазме:
.
(3.1.6)
Окончательно средняя по объему концентрация
электронов в плазмозоле:
.
(3.1.7)
Изложенная последовательность шагов расчета
ионизации плазмозоля дает возможность строить конкретные алгоритмы числовых
расчетов, предполагающих их реализацию на ЭВМ. Расчеты, приведенные в [20]
реализованы на основе подпрограмм, содержащих в своей основе три основных
момента: вычисление зависимости ; определение концентрации электронов на
границе ячейки решением трансцендентного уравнения относительно neb; вычисление заряда КДФ – z и средней концентрации электронов в объеме
плазмозоля – ne. Концентрация электронов на внутренней
границе ячейки в модели определяется законом термоэмиссии Ричардсона-Дешмана:
.
(3.1.8)
Здесь К – коэффициент коррекции, учитывающий
свойства поверхности КЧ (содержит коэффициент отражения электронов поверхностью
дисперсных частиц); В=4,83·1021К-3/2.
3.2. Режим слабого
экранирования
Прежде чем составлять алгоритм решения задачи
с термической ионизации монодисперсного плазмозоля в рамках ячеечной модели,
преобразуем (3.1.1) – (3.1.8) к виду, удобному для программирования. Если
нормировать значения потенциала на kT, а расстояния посредством b –
радиуса ячейки, то математическую модель задачи можно записать как
(3.2.1)
где введены обозначения:
(3.2.2)
Db – дебаевский радиус электронов, локализующихся на границе ячейки. Так
как вблизи этой границы вследствие непрерывности нормированного потенциала у и
его производной dy/dx они оказываются близкими к нулю, экспоненту,
входящую в правую часть уравнения Пуассона (3.1.1), разложим в ряд по малому
параметру (x-1):
(3.2.3)
После дважды интегрированного уравнения,
вернемся к безразмерному потенциалу у (умножим выражение на 3/с и разделив на x),
приходим к зависимости
(3.2.4)
Уравнение (3.2.4) определяет связь
безразмерного потенциала у в ячейке с концентрацией свободных электронов на ее
внешней границе neb, которая входит в выражение для константы с.
Режим слабого экранирования, описываемый
(3.2.4), наиболее часто реализуется на практике в гетерогенной плазме (плазме с
КДФ) для микрочастиц в случае, когда rp/DS<5. В таком режиме плотность электронов в
ячейке изменяется незначительно (практически однородна), а потенциал в
окрестности КЧ кулоновский, т.е. . Таким образом, если среднее по объему
значение плотности электронов равно их концентрации на границе ячейки neb, имеем однородное распределение электронной компоненты и отсутствие
экранирования. Малое отличие этих плотностей указывает на слабое экранирование
КЧ.
Выводы
1.
С учетом областей
термодинамических параметров реально действующих плазменных устройств
существующая модель идеально – газового и дебаевского подхода, должны быть
уточнены и расширены на случай плотных плазменных систем с существенным вкладом
электростатического взаимодействия термодинамических параметров.
2.
Наиболее естественным
образом, такое расширение может быть осуществлено для статистической ячеечной
модели квазинейтральных ячеек с использованием условного разбиения пространства
в не макрочастицы на две области: линейного и не линейного экранирования. В
таком подходе аналитическое сопряжение двух решений на границе этих областей
дает возможность сформулировать и решить задачу не линейного экранирования
макрочастицы в ГПС в замкнутом виде. Полученное решение характеризуется
дебаевскими ассимптотиками, а расчетные данные хорошо согласуются с имеющимся
экспериментальным материалом.
Список литературы
1.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Статистическая физика. – М.: Наука, 1978. –583 с.
2.
Лифшиц Е.М., Питаевский
Л.П. Физическая кинетика. – М.: Наука, 1979. –528 с.
3.
Saha M.N. Ionisation in the solar
chramosphorell Philosophycal Magazin. –1920.-v.40 – P.472-488.
4.
Тамм И.Е. Основы теории
электричества. – М.: Наука, 1976. –616 с.
5.
Голант В.Е., Жилинский
А.П., Сахаров С.А. Основы физики плазмы. – М.: Автомиздат, 1977. –384 с.
6.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1974. –752 с.
7.
Самуйлов Е.В. Сечение
прилипания электронов к сферическим частицам и теоретическая ионизация частиц
// Теплофизика высоких температур. –1966. – Т.4. - №2. – с.143-147.
8.
Фиалков Б.С., Щербаков
Н.Д., Акст Н.К., Беседин В.И. Использование электрофизических явлений для
контроля и управления теплотехническими и технологтческими процессами // Физика
горения и взрыва. – 1983. - № 5. – с. 29.
9.
Цветков Ю. В., Панфилов С.
А. Низкотемпературная плазма в процессах восстановления. – М.: Наука, 1980. –
350 с.
10.
Boxman R.L., goldsmith S. The
interaction between plasma and microparticles in a multi-cathode-spot // Vacuum
arc. // G. Appol. Phys. –1981. –V.52. N1. P151 157/
11.
Красников Ю. Г., Кучеренко
В. И. Термодинамика не идеальной низкотемпературной многокомпонентной плазмы на
основе химической модели // Теплофизика высоких темтератур. – 1978. – Т. 16. -
№ 1. – С. 45 – 53.
12.
Dimick R.C., Soo S.L. Scattering
of electrons and ions by dust particles in a gas // Phys. Fluids. 1964. –V.7.№1. P –
1638 – 1640/
13.
Sodha M.N., Kaw P.K., Srivastava
H.K. Conductivity of dust – loden gases // Brit. G.Appl.Phys. – 1965. – V.16. -
№5.- P.721 – 723.
14.
Самуйлов Е. В. О константе
равновесия ионизации частиц // Теплофизика высоких температур. – 1965. – Т. 3.
- № 2. – С.216 – 222.
15.
Журавский А. М. Справочник
по эллепт ическим функциям. – М. – Л.: Изд – во. АН СССР, 1941. – 235 с.
16.
Аршинов А. А., Мусин А. К.
Равновесная ионизация частиц // Доклады Академи Наук СССР. – 1958. – Т. 120. -
№ 4. – С.747 – 750.
17.
Добрецов Л. Н., Гомоюнова
М. В. Эмиссионная электроника. – М.: Наука, 1966. – 564 с.
18.
Лукьянов Г А. Ионизация в
разряженной низкотемпературной плазмы при наличии твердой фазы и примеси
щелочного металла // Теплофизика высоких температур. – 1976. – Т. 14 - № 3. –
С. 462 – 468.
19.
Debye P., Huckel E. Zur Fheorie
der Electrolyte. I.Gefrierpunktsniedrigung und vervandte Erscheinungen // Phys.
Zschr. –1923 –B.24. –S.185 –206.
20.
Gibson E. Ionisation phenomena in
a – gas – particle – plasmall Phys. Fluids. – 1966.-V.9. - №12. – P.2389 –
2399.