Модели линейной и множественной регрессии и экономический смысл их параметров
Автономная некоммерческая организация
высшего образования
«ПЕРМСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И
ФИНАНСОВ»
Факультет Экономический
Кафедра Менеджмента
Профиль Управление малым бизнесом
Контрольная работа
по
дисциплине: « Эконометрика»
Выполнил: Калинина Мария Игоревна
Группа: М1\1-13-С(И)
Пермь 2014г.
Задание № 1.
По данным об экономических результатах деятельности российских банков, по
данным Банка России и Федеральной службы государственной статистики выполните
следующие задания:
1. Проведите качественный анализ связей экономических переменных,
выделив зависимую и независимую переменные
2. Постройте поле корреляции результата и фактора
. Рассчитайте параметры следующих функций:
· линейной
· степенной
· показательной
· равносторонней гиперболы
4. Оцените
качество каждой модели через среднюю ошибку аппроксимации и -критерий Фишера
. Рассчитать
прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на
15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для
уровня значимости
. Оценить
полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Таблица 1
Регион
|
Кредиты, предоставленные предприятиям, организациям, банкам
и физическим лицам, млн. руб.
|
Среднегодовая численность занятых в экономике, тыс. чел.
|
Белгородская область
|
342,5
|
671,3
|
Брянская область
|
275,4
|
593,7
|
Владимирская область
|
112,1
|
726,4
|
Воронежская область
|
274,5
|
1090,9
|
Ивановская область
|
141,5
|
491,2
|
Калужская область
|
129
|
488,7
|
Костромская область
|
50,7
|
337,6
|
Курская область
|
401,3
|
616,6
|
Липецкая область
|
125,3
|
572,8
|
Московская область
|
5814,2
|
2441,9
|
Орловская область
|
58
|
420
|
Рязанская область
|
456,5
|
539,5
|
Смоленская область
|
192,2
|
473,9
|
Тамбовская область
|
82,3
|
532,8
|
Тверская область
|
319,1
|
669,6
|
Тульская область
|
638,3
|
786,9
|
Ярославская область
|
727,9
|
666,5
|
Москва
|
811856,3
|
5406,1
|
Республика Карелия
|
41
|
343,1
|
Решение
. По данным об экономических результатах деятельности российских банков
среднегодовая численность занятых в экономике зависит от величины кредитов,
предоставленных предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам.
Поэтому
кредиты, предоставленные предприятиям, организациям,
банкам и физическим лицам (независимая переменная), среднегодовая численность занятых в экономике
(зависимая переменная).
.
Построим поле корреляции результата и фактора (на координатную плоскость
наносим точки ( (кредиты, предоставленные предприятиям, организациям,
банкам и физическим лицам), (среднегодовая
численность занятых в экономике)):
Рис.
1 Поле корреляции
·
Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
.
Для
расчёта параметров и линейной
регрессии необходимо решить систему нормальных уравнений относительно и :
.
По
исходным данным определяем
, , , , , .
Составим
вспомогательную таблицу 1.
Параметр
можно рассчитать по формуле:
.
Параметр
рассчитывается по формуле:
.
Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид:
Таблица 1
№
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
671,3
|
342,5
|
229920
|
450643,69
|
117306
|
3848,266
|
12290393,669
|
1553691799
|
1842355013
|
10,236
|
2
|
593,7
|
275,4
|
163504,98
|
352479,69
|
75845,16
|
-7514,109
|
60676447,422
|
2578534461
|
1848119736
|
28,284
|
3
|
726,4
|
112,1
|
81429,44
|
527656,96
|
12566,41
|
11916,137
|
139335299,321
|
982761415
|
1862186860
|
105,299
|
4
|
1090,9
|
274,5
|
299452,05
|
1190062,81
|
75350,25
|
65287,085
|
4226636211,520
|
484965042,7
|
1848197119
|
236,840
|
5
|
491,2
|
141,5
|
69504,8
|
241277,44
|
20022,25
|
-22522,400
|
513652361,870
|
4328003462
|
1859650324
|
160,169
|
6
|
488,7
|
129
|
63042,3
|
238827,69
|
16641
|
-22888,456
|
529803273,923
|
4376301308
|
1860728572
|
178,430
|
7
|
337,6
|
50,7
|
17116,32
|
113973,76
|
2570,49
|
-45012,873
|
2030725644,490
|
7793011732
|
1867489826
|
888,828
|
8
|
616,6
|
401,3
|
247441,58
|
380195,56
|
161041,69
|
-4161,037
|
20814918,218
|
2249244454
|
1837310765
|
11,369
|
9
|
572,8
|
125,3
|
71771,84
|
328099,84
|
15700,09
|
-10574,336
|
114482210,087
|
2898691667
|
1861047793
|
85,392
|
10
|
2441,9
|
5814,2
|
14197694,98
|
5962875,61
|
33804921,64
|
263103,684
|
66197878424,116
|
48328975115
|
1402574641
|
257289,484
|
11
|
420
|
58
|
24360
|
176400
|
3364
|
-32947,671
|
1089374350,653
|
5808396165
|
1866858948
|
569,063
|
12
|
539,5
|
456,5
|
246281,75
|
291060,25
|
208392,25
|
-15450,200
|
253023115,342
|
3447493909
|
1832581641
|
15906,700
|
13
|
473,9
|
192,2
|
91083,58
|
224581,21
|
36940,84
|
-25055,507
|
637446692,320
|
4667713926
|
1855280155
|
131,362
|
14
|
532,8
|
82,3
|
43849,44
|
283875,84
|
6773,29
|
-16431,230
|
272696676,117
|
3563659367
|
1864759671
|
200,650
|
15
|
669,6
|
319,1
|
213669,36
|
448364,16
|
101824,81
|
3599,348
|
10760025,466
|
1573376910
|
1844364341
|
10,280
|
16
|
786,9
|
638,3
|
502278,27
|
619211,61
|
407426,89
|
20774,690
|
405474192,671
|
505821393,5
|
1817049463
|
31,547
|
17
|
666,5
|
727,9
|
485145,35
|
444222,25
|
529838,41
|
3145,438
|
5844492,309
|
1609592308
|
1809418757
|
3,321
|
18
|
5406,1
|
811856,3
|
4388976343
|
29225917
|
659110651850
|
697128,822
|
13162394214,302
|
427537684320
|
590732335632
|
0,141
|
19
|
343,1
|
41
|
14067,1
|
117717,61
|
1681
|
-44207,550
|
1957934214,728
|
7651475622
|
1868328281
|
1079,233
|
Сумма
|
17869,5
|
822038,1
|
4406037957
|
41617443
|
659146250056
|
822038,1
|
91641243159
|
531939394379
|
623580637538
|
276926,629
|
Среднее
|
940,5
|
43265,163
|
231896734,6
|
2190391,747
|
34691907898
|
43265,16316
|
4823223324
|
27996810230
|
32820033555
|
14575,0857
|
130585132820033555
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1142,739181163,0027
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
То
есть при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям,
банкам и физическим лицам на 1 млн. руб., среднегодовая численность занятых в
экономике увеличиваются на 146,422 млн. руб.
· Перед
построением степенной модели проведём
процедуру линеаризации переменных путём логарифмирования обеих частей этого
уравнения:
.
Сделаем
замену:
.
Составим
вспомогательную таблицу 2:
Параметр
определим по формуле:
Параметр
определим по формуле:
Таблица 2
№
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
671,3
|
342,5
|
6,509
|
5,836
|
37,990
|
42,370
|
34,062
|
319,140
|
546
|
1844360886
|
1842355013
|
0,068
|
2
|
593,7
|
275,4
|
6,386
|
5,618
|
35,880
|
40,786
|
31,564
|
217,687
|
3331
|
1853085213
|
1848119736
|
0,210
|
3
|
726,4
|
112,1
|
6,588
|
4,719
|
31,092
|
43,403
|
22,273
|
408,015
|
87566
|
1836735110
|
1862186860
|
2,640
|
4
|
1090,9
|
274,5
|
6,995
|
5,615
|
39,275
|
48,927
|
31,528
|
1447,768
|
1376558
|
1748694533
|
1848197119
|
4,274
|
5
|
491,2
|
141,5
|
6,197
|
4,952
|
30,689
|
38,401
|
24,525
|
120,641
|
435
|
1861449808
|
1859650324
|
0,147
|
6
|
488,7
|
129
|
6,192
|
4,860
|
30,091
|
38,338
|
23,618
|
118,739
|
105
|
1861613931
|
1860728572
|
0,080
|
7
|
337,6
|
50,7
|
5,822
|
3,926
|
22,856
|
33,894
|
15,413
|
37,524
|
174
|
1868628825
|
1867489826
|
0,260
|
8
|
616,6
|
401,3
|
6,424
|
5,995
|
38,511
|
41,271
|
35,937
|
244,918
|
24455
|
1850741470
|
1837310765
|
0,390
|
9
|
572,8
|
125,3
|
6,351
|
4,831
|
30,678
|
40,329
|
23,336
|
194,698
|
4816
|
1855065010
|
1861047793
|
0,554
|
10
|
2441,9
|
5814,2
|
7,801
|
8,668
|
67,615
|
60,848
|
75,135
|
17805,058
|
143780685
|
648216935
|
1402574641
|
2,062
|
11
|
420
|
58
|
6,040
|
4,060
|
24,526
|
36,485
|
16,487
|
74,078
|
259
|
1865469821
|
1866858948
|
0,277
|
12
|
539,5
|
456,5
|
6,291
|
6,124
|
38,521
|
39,572
|
37,498
|
161,567
|
86986
|
1857920044
|
1832581641
|
0,646
|
13
|
473,9
|
192,2
|
6,161
|
5,259
|
32,398
|
37,958
|
27,652
|
107,894
|
7107
|
1862549850
|
1855280155
|
0,439
|
14
|
532,8
|
82,3
|
6,278
|
4,410
|
27,689
|
39,415
|
19,451
|
155,399
|
5344
|
1858451740
|
1864759671
|
0,888
|
15
|
669,6
|
319,1
|
6,507
|
5,766
|
37,514
|
42,337
|
33,241
|
316,630
|
6
|
1844576504
|
1844364341
|
0,008
|
16
|
786,9
|
638,3
|
6,668
|
6,459
|
43,068
|
44,464
|
41,716
|
523,457
|
13189
|
1826853483
|
1817049463
|
0,180
|
17
|
666,5
|
727,9
|
6,502
|
6,590
|
42,850
|
42,277
|
43,430
|
312,087
|
172900
|
1844966751
|
1809418757
|
0,571
|
18
|
5406,1
|
811856,3
|
8,595
|
13,607
|
116,957
|
73,879
|
185,153
|
211582,749
|
360328335783
|
28330809773
|
590732335632
|
0,739
|
19
|
343,1
|
41
|
5,838
|
3,714
|
21,680
|
34,083
|
13,791
|
39,460
|
2
|
1868461379
|
1868328281
|
0,038
|
Сумма
|
17869,5
|
822038,1
|
124,144
|
111,008
|
749,879
|
819,035
|
735,810
|
234187,510
|
360473900247
|
60388651066
|
623580637538
|
14,47
|
Среднее
|
940,5
|
43265,163
|
6,534
|
5,843
|
39,467
|
43,107
|
38,727
|
12325,658
|
18972310539
|
3178350056
|
32820033555
|
0,762
|
0,4154,591
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6442,143
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Тогда уравнение имеет вид:
.
Выполним
его потенцирование:
.
То
есть при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам
и физическим лицам на 1%, среднегодовая численность занятых в экономике
увеличиваются на 3,114%.
· Показательная модель регрессии имеет
вид:
.
Проведём
процедуру линеаризации путём логарифмирования обеих частей уравнения:
.
Сделаем
замену:
.
Следовательно,
уравнение имеет вид:
.
Составим
вспомогательную таблицу 3:
Параметр
определим по формуле:
.
Параметр
определим по формуле:
.
Следовательно,
уравнение регрессии имеет вид:
.
Выполним его потенцирование, получим:
.
· Уравнение
гиперболы линеаризуется при помощи замены ,
Таблица 3
№
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
671,3
|
342,5
|
5,836
|
3917,889
|
450643,69
|
34,062
|
213,3877164
|
16670
|
1853455369
|
1842355013
|
0,377
|
2
|
593,7
|
275,4
|
5,618
|
3335,540
|
352479,69
|
31,564
|
185,843946
|
8020,286813
|
1855827744
|
1848119736
|
0,325
|
3
|
726,4
|
112,1
|
4,719
|
3428,166
|
527656,96
|
22,273
|
235,3896796
|
15200,3451
|
1851561406
|
1862186860
|
1,100
|
1090,9
|
274,5
|
5,615
|
6125,350
|
1190062,81
|
31,528
|
450,521938
|
30983,72266
|
1833093503
|
1848197119
|
0,641
|
5
|
491,2
|
141,5
|
4,952
|
2432,570
|
241277,44
|
24,525
|
154,8346318
|
177,8124051
|
1858500426
|
1859650324
|
0,094
|
6
|
488,7
|
129
|
4,860
|
2374,990
|
238827,69
|
23,618
|
154,1467738
|
632,3602303
|
1858559734
|
1860728572
|
0,195
|
7
|
337,6
|
50,7
|
3,926
|
1325,393
|
113973,76
|
15,413
|
117,7778594
|
4499,439226
|
1861696858
|
1867489826
|
1,323
|
8
|
616,6
|
401,3
|
5,995
|
3696,338
|
380195,56
|
35,937
|
193,5801402
|
43147,54014
|
1855161264
|
1837310765
|
0,518
|
9
|
572,8
|
125,3
|
4,831
|
2767,031
|
328099,84
|
23,336
|
179,0535636
|
2889,445605
|
1856412840
|
1861047793
|
0,429
|
10
|
2441,9
|
5814,2
|
8,668
|
21166,532
|
5962875,61
|
75,135
|
4996,537318
|
668572,2613
|
1464487724
|
1402574641
|
0,141
|
11
|
420
|
58
|
4,060
|
1705,386
|
176400
|
16,487
|
136,3946367
|
6145,71907
|
1860090674
|
1866858948
|
1,352
|
12
|
539,5
|
456,5
|
6,124
|
3303,676
|
291060,25
|
37,498
|
168,7432991
|
82803,91889
|
1857301405
|
1832581641
|
0,630
|
13
|
473,9
|
192,2
|
5,259
|
2492,020
|
224581,21
|
27,652
|
150,1367933
|
1769,313355
|
1858905498
|
1855280155
|
0,219
|
14
|
532,8
|
82,3
|
4,410
|
2349,846
|
283875,84
|
19,451
|
166,7417328
|
7130,406245
|
1857473929
|
1864759671
|
1,026
|
15
|
669,6
|
319,1
|
5,766
|
3860,582
|
448364,16
|
33,241
|
212,7426294
|
11311,89027
|
1853510913
|
1844364341
|
0,333
|
16
|
786,9
|
638,3
|
6,459
|
5082,436
|
619211,61
|
41,716
|
262,1694837
|
141474,1653
|
1849257465
|
1817049463
|
0,589
|
17
|
666,5
|
727,9
|
6,590
|
4392,344
|
444222,25
|
43,430
|
211,5713108
|
266595,3153
|
1853611771
|
1809418757
|
0,709
|
18
|
5406,1
|
811856,3
|
13,607
|
73561,228
|
29225917,21
|
185,153
|
980343,843
|
28388052145
|
878116452206
|
590732335632
|
0,208
|
19
|
343,1
|
41
|
3,714
|
1274,127
|
117717,61
|
13,791
|
118,9372034
|
6074,207668
|
1861596814
|
1868328281
|
1,901
|
Сумма
|
17869,5
|
822038,1
|
111,008
|
148591,444
|
41617443,19
|
735,810
|
988652,3537
|
28389366243
|
911116957541
|
623580637538
|
12,110
|
Среднее
|
940,5
|
43265,163
|
5,843
|
7820,602
|
2190391,747
|
38,727
|
52034,334
|
1494177171
|
47953524081
|
32820033555
|
0,637
|
1305851,4974,591
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1142,7392,143
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда уравнение имеет вид:
.
Для
расчётов используем данные таблицы 4.
Параметр
определим по формуле:
.
Параметр
определим по формуле:
.
Уравнение
регрессии имеет вид:
.
.
Величина средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение
расчётных значений от фактических:
.
Таблица 4
№
|
z=1/x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
671,3
|
342,5
|
0,001490
|
0,51020
|
117306
|
0,0000022
|
68799,744
|
4686394275
|
652014825,7
|
1842355013
|
199,875
|
2
|
593,7
|
275,4
|
0,001684
|
0,4639
|
75845,16
|
0,0000028
|
42347,442
|
1770056704
|
842212,4353
|
1848119736
|
152,767
|
3
|
726,4
|
112,1
|
0,001377
|
0,1543
|
12566,41
|
0,0000019
|
84151,023
|
7062540623
|
1671653556
|
1862186860
|
749,678
|
4
|
1090,9
|
274,5
|
0,000917
|
0,2516
|
75350,25
|
0,0000008
|
146642,704
|
21423651234
|
10686916016
|
1848197119
|
533,218
|
5
|
491,2
|
141,5
|
0,002036
|
0,2881
|
20022,25
|
0,0000041
|
-5403,716
|
30749425,41
|
2368659842
|
1859650324
|
39,189
|
6
|
488,7
|
129
|
0,002046
|
0,2640
|
16641
|
0,0000042
|
-6818,613
|
48269329,76
|
2508384658
|
1860728572
|
53,857
|
7
|
337,6
|
50,7
|
0,002962
|
0,1502
|
2570,49
|
0,0000088
|
-131242,89
|
17238007868
|
30453062069
|
1867489826
|
2589,617
|
8
|
616,6
|
401,3
|
0,001622
|
0,6508
|
161041,69
|
0,0000026
|
50846,100
|
2544677854
|
57470604,48
|
1837310765
|
125,703
|
9
|
572,8
|
125,3
|
0,001746
|
0,2188
|
15700,09
|
0,0000030
|
33997,919
|
1147354287
|
85881822,66
|
1861047793
|
270,332
|
10
|
2441,9
|
5814,2
|
0,000410
|
2,381014784
|
33804921,64
|
0,0000002
|
215544,095
|
29680030187
|
1402574641
|
209729,895
|
11
|
420
|
58
|
0,002381
|
0,1381
|
3364
|
0,0000057
|
-52291,294
|
2740448602
|
9131036541
|
1866858948
|
902,574
|
12
|
539,5
|
456,5
|
0,001854
|
0,846153846
|
208392,25
|
0,0000034
|
19358,116
|
357271077,1
|
571546916,8
|
1832581641
|
18901,616
|
13
|
473,9
|
192,2
|
0,002110
|
0,4056
|
36940,84
|
0,0000045
|
-15500,580
|
246263344,9
|
3453412572
|
1855280155
|
81,648
|
14
|
532,8
|
82,3
|
0,001877
|
0,1545
|
6773,29
|
0,0000035
|
16191,433
|
259504157,5
|
732986879
|
1864759671
|
195,737
|
15
|
669,6
|
319,1
|
0,001493
|
0,4766
|
101824,81
|
0,0000022
|
68285,934
|
4619490586
|
626038996,3
|
1844364341
|
212,995
|
16
|
786,9
|
638,3
|
0,001271
|
0,8112
|
407426,89
|
0,0000016
|
98530,578
|
9582898141
|
3054266105
|
1817049463
|
153,364
|
17
|
666,5
|
727,9
|
0,001500
|
1,0921
|
529838,41
|
0,0000023
|
67342,240
|
4437470252
|
579705614,2
|
1809418757
|
91,516
|
18
|
5406,1
|
811856,3
|
0,000185
|
150,1741
|
65911065185
|
0,0000000
|
246049,795
|
320137000832
|
41121607008
|
590732335632
|
0,697
|
19
|
343,1
|
41
|
0,002915
|
0,1195
|
1681
|
0,0000085
|
-124791,92
|
15583259090
|
28243184781
|
1868328281
|
3044,705
|
Сумма
|
17869,5
|
822038,1
|
0,0318743
|
159,5506
|
659146250056
|
0,0000624
|
822038,1
|
457901936332
|
165678701206
|
623580637538
|
238028,984
|
Среднее
|
940,5
|
43265,163
|
0,002
|
8,397
|
34691907898
|
0,0000033
|
43265,163
|
24100101912
|
8719931642
|
32820033555
|
12527,841
|
32820033554
|
0,000
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
181163,0030,001
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То
есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет
1457508,57%, так как допустимый предел отклонения , то можно сказать, что линейная модель некорректно
описывает указанную зависимость.
.
То
есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 76,2%, так
как допустимый предел отклонения , то
можно сказать, что степенная модель некорректно описывает указанную
зависимость.
.
То
есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 63,7%, так
как допустимый предел отклонения , то
можно сказать, что показательная модель некорректно описывает указанную
зависимость.
.
То
есть среднее отклонение фактических и расчётных значений составляет 12527,841%,
так как допустимый предел отклонения , то
можно сказать, что модель равносторонней гиперболы некорректно описывает
указанную зависимость.
Выдвинем
гипотезу о статистической не значимости уравнения регрессии в целом.
Проведём
сравнение фактического и критического значений -критерия
Фишера. определяется по формуле:
.
находим
с помощью статистических таблиц на уровне значимости
.
Так
как все (кроме
степенного), то гипотеза о случайном отклонении коэффициентов от нуля
отвергается, следовательно, уравнения (кроме степенного) статистически значимы.
.
Прогнозное значение определяется путём подстановки в уравнение регрессии
прогнозного значения (в нашем случае )
.
Вычисляется
средняя стандартная ошибка прогноза:
,
где
.
Строится
доверительный интервал:
,
где
.
· Для линейной модели.
.
Строим
доверительный интервал:
.
Следовательно,
при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и
физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с
вероятностью 0,95 будут находиться в интервале от млн. руб. до 222171,773 млн. руб.
· Для степенной модели.
.
Строим
доверительный интервал:
.
Следовательно,
при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и
физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с
вероятностью 0,95 при использовании степенной модели будут находиться в
интервале от млн. руб. до 315269,129 млн. руб.
· Для показательной модели.
.
Строим
доверительный интервал:
.
Следовательно,
при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и
физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с
вероятностью 0,95 при использовании показательной модели будут находиться в
интервале от млн. руб. до 88522,896 млн. руб.
· Для гиперболической модели.
.
Строим
доверительный интервал:
.
Следовательно,
при увеличении кредитов, предоставленных предприятиям, организациям, банкам и
физическим лицам на 15% среднегодовая численность занятых в экономике с
вероятностью 0,95 при использовании модели гиперболы будут находиться в
интервале от млн. руб. до 499309,397 млн. руб.
.
По полученным данным видно, что ни одно из уравнений для описания предложенной
зависимости не подходит. (Ошибка аппроксимации для всех уравнений превышает
норму в несколько раз).
Задание
№ 2.
По
данным об экономических результатах деятельности российских банков выполните
следующие задания:
1. Постройте линейное уравнение множественной регрессии и поясните
экономический смысл его параметров
2. Определите стандартизованные коэффициенты регрессии
. Определите парные и частные коэффициенты корреляции, а также
множественный коэффициент корреляции
4. Дайте
оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и общего -критерия Фишера
. Рассчитать
прогнозное значение результата, если прогнозные значения факторов составляют
80% от их максимальных значений
. Оценить
полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Таблица 5
Банк
|
Кредиты предприятиям и организациям, млн. руб.
|
Средства предприятий и организаций, %
|
Выпущенные ценные бумаги, %
|
Сбербанк
|
1073255
|
19
|
3
|
Внешторгбанк
|
189842
|
25
|
12
|
Газпромбанк
|
207118
|
38
|
22
|
Альфа-банк
|
138518
|
30
|
3
|
Банк Москвы
|
90757
|
27
|
5
|
Росбанк
|
62388
|
55
|
10
|
Ханты-Мансийский банк
|
4142
|
9
|
0
|
МДМ-банк
|
51731
|
25
|
5
|
ММБ
|
48400
|
62
|
2
|
Райффайзенбанк
|
46393
|
42
|
0
|
Промстройбанк
|
45580
|
29
|
11
|
Ситибанк
|
33339
|
46
|
0
|
Уралсиб
|
43073
|
19
|
10
|
Межпромбанк
|
60154
|
7
|
37
|
Промсвязьбанк
|
32761
|
46
|
11
|
Петрокоммерц
|
23053
|
37
|
11
|
Номос-банк
|
28511
|
17
|
24
|
Зенит
|
25412
|
36
|
17
|
Русский стандарт
|
3599
|
1
|
14
|
Транскредитбанк
|
18506
|
46
|
27
|
Решение
. Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:
.
Параметры
уравнения определим с помощью функции регрессии.
Таблица
6 Вывод итогов
Регрессионная статистика
|
|
|
|
|
Множественный R
|
0,257352
|
|
|
|
R-квадрат
|
0,06623
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат
|
-0,04363
|
|
|
|
Стандартная ошибка
|
238263
|
|
|
|
Наблюдения
|
|
20
|
|
|
|
Дисперсионный анализ
|
|
|
|
|
df
|
SS
|
MS
|
F
|
Значимость F
|
Регрессия
|
2
|
6,85E+10
|
3,42E+10
|
0,602885
|
0,55852
|
Остаток
|
17
|
9,65E+11
|
5,68E+10
|
|
|
Итого
|
19
|
1,03E+12
|
|
|
|
|
Коэффициенты
|
Стандартная ошибка
|
t-статистика
|
P-Значение
|
Нижние 95%
|
Y-пересечение
|
255779,9
|
146224,5
|
1,749228
|
0,098281
|
-52727,2
|
Переменная X 1
|
-2853,05
|
3473,83
|
-0,8213
|
0,422845
|
-10182,2
|
Переменная X 2
|
-5051,73
|
5604,129
|
0,379954
|
-16875,4
|
.
Следовательно,
уравнение имеет вид:
.
То
есть при увеличении средств предприятий и организаций на 1% кредиты предприятиям
и организациям уменьшаются на 2853,05 млн. руб.
При
увеличении выпущенных ценных бумаг на 1% кредиты предприятиям и организациям
уменьшаются на 5051,73 млн. руб.
.
Стандартизованные коэффициенты регрессии рассчитаем по формулам:
Составим
вспомогательную расчетную таблицу 7
.
Таким
образом, уравнение регрессии в стандартизованном масштабе имеет вид:
.
То есть при увеличении средств предприятий и организаций на
среднеквадратическое отклонение кредиты предприятиям и организациям уменьшаются
на 0,198 от своего среднеквадратического отклонения.
Таблица 7
|
y
|
x1
|
x2
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1073255
|
19
|
3
|
20391845
|
3219765
|
57
|
361
|
9
|
1151876295025
|
2
|
189842
|
25
|
12
|
4746050
|
2278104
|
300
|
625
|
144
|
36039984964
|
3
|
207118
|
38
|
22
|
7870484
|
4556596
|
836
|
1444
|
484
|
42897865924
|
4
|
138518
|
30
|
3
|
4155540
|
415554
|
90
|
900
|
9
|
19187236324
|
5
|
90757
|
27
|
5
|
2450439
|
453785
|
135
|
729
|
25
|
8236833049
|
6
|
62388
|
55
|
10
|
3431340
|
623880
|
550
|
3025
|
100
|
3892262544
|
7
|
4142
|
9
|
0
|
37278
|
0
|
0
|
81
|
0
|
17156164
|
8
|
51731
|
25
|
5
|
1293275
|
258655
|
125
|
625
|
25
|
2676096361
|
9
|
48400
|
62
|
2
|
3000800
|
96800
|
124
|
3844
|
4
|
2342560000
|
10
|
46393
|
42
|
0
|
1948506
|
0
|
0
|
1764
|
0
|
2152310449
|
11
|
45580
|
29
|
11
|
1321820
|
501380
|
319
|
841
|
121
|
2077536400
|
12
|
33339
|
46
|
0
|
1533594
|
0
|
0
|
2116
|
0
|
1111488921
|
13
|
43073
|
19
|
10
|
818387
|
430730
|
190
|
361
|
100
|
1855283329
|
14
|
60154
|
7
|
37
|
421078
|
2225698
|
259
|
49
|
1369
|
3618503716
|
15
|
32761
|
46
|
11
|
1507006
|
360371
|
506
|
2116
|
121
|
1073283121
|
16
|
23053
|
37
|
11
|
852961
|
253583
|
407
|
1369
|
121
|
531440809
|
17
|
28511
|
17
|
24
|
484687
|
684264
|
408
|
289
|
576
|
812877121
|
18
|
25412
|
36
|
17
|
914832
|
432004
|
612
|
1296
|
289
|
645769744
|
19
|
3599
|
1
|
14
|
3599
|
50386
|
14
|
1
|
196
|
12952801
|
20
|
18506
|
46
|
27
|
851276
|
499662
|
1242
|
2116
|
729
|
342472036
|
Сумма
|
2226532
|
616
|
224
|
58034797
|
17341217
|
6174
|
23952
|
4422
|
1281400208802
|
Среднее
|
111326,6
|
30,8
|
11,2
|
2901740
|
867060,85
|
308,7
|
1197,6
|
221,1
|
64070010440
|
251676398573
|
248,96
|
95,66
|
|
|
|
|
|
|
|
227324,4346
|
15,778
|
9,781
|
|
|
|
|
|
|
|
При увеличении выпущенных ценных бумаг на среднеквадратическое отклонение
кредиты предприятиям и организациям уменьшаются на 0,217 от своего
среднеквадратического отклонения.
. Парные коэффициенты корреляции найдём по формулам:
.
Частные
коэффициенты корреляции можно выразить через парные коэффициенты, следующим
образом:
.
Определим
множественный коэффициент корреляции:
.
Так
как , следовательно, зависимость кредиты предприятиям и
организациям от средств предприятий и организаций и выпущенных ценных бумаг
практически отсутствует.
.
Выдвинем гипотезу о случайном отличии коэффициентов , , от нуля.
Общий
критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и
показателя тесноты связи:
.
Сравнивая
и ,
приходим к выводу, что причин для отклонения гипотезы нет, так как с
вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической не значимости уравнения в
целом и показателя тесноты связи .
Так
как (или 6,6%), то 6,6% изменения кредиты предприятиям и
организациям связано с изменением средств предприятий и организаций и
выпущенных ценных бумаг и 93,4% от других факторов.
.
Прогнозное значение факторов составляют 80% от их максимальных значениях,
следовательно:
.
Таким
образом
(млн.
руб.).
То
есть, если прогнозные значения факторов составят 80% от их максимальных
значений, прогнозное значение кредитов предприятиям и организациям составит млн. руб.
.
Так как распределение -Фишера указывает на то, что гипотезу о незначимости
уравнения регрессии следует принять, то уравнение статистически незначимо,
следовательно, не описывает указанную зависимость.
Задание
№ 3.
По
данным о средних потребительских ценах в РФ, взятым из соответствующей таблицы,
выполнить следующие действия:
1. Параметры линейного, экспоненциального, степенного,
гиперболического трендов, описывающих динамику доли малых предприятий. Выберите
из них наилучший, используя среднюю ошибку аппроксимации и коэффициент
детерминации
2. Выбрать лучшую форму тренда и выполнить точечный прогноз на 2012,
2013 и 2014 годы
. Определить коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3 и 4 порядков
. Построить автокорреляционную функцию временного ряда.
Охарактеризовать структуру этого ряда.
Таблица 8
Год
|
Театры, за билет
|
1998
|
17,32
|
1999
|
25,12
|
2000
|
33,60
|
2001
|
45,08
|
2002
|
61,77
|
2003
|
72,06
|
2004
|
89,70
|
2005
|
111,43
|
2006
|
134,44
|
2007
|
162,11
|
2008
|
208,26
|
2009
|
243,09
|
2010
|
278,17
|
2011
|
343,80
|
Решение
. Построим поле корреляции:
Рис. 2
Поле корреляции
· Добавив
линию тренда (линейная, показать уравнение на диаграмме, поместить на диаграмму
величину достоверности аппроксимации ),
получим:
Рис. 3 Поле корреляции
Следовательно, уравнение линейной зависимости имеет вид:
.
То
есть
.
· Изменив тип линии тренда на степенную, получим:
Рис. 4 Поле корреляции
Следовательно, уравнение степенной зависимости имеет вид:
.
То
есть
.
· Изменив тип линии тренда на
экспоненциальную, получим:
Рис. 5 Поле корреляции
Следовательно, уравнение экспоненциальной зависимости имеет вид:
.
То
есть
.
· Изменив тип линии тренда на
логарифмическую, получим:
Рис. 6 Поле корреляции
Следовательно, уравнение логарифмической зависимости имеет вид:
.
То
есть
.
Коэффициент
детерминации, объясняющий долю дисперсии, вызванной факторным признаком,
определяется по формуле:
или «-квадрат» на диаграмме.
.
Величина
средней ошибки аппроксимации определяется как среднее отклонение расчётных
значений от фактических:
.
Составим
вспомогательную таблицу:
Таблица
9
ЛинейнаяСтепеннаяЭкспоненциальнаяЛогарифмическая
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17,32
|
-23,375
|
2,350
|
11,203
|
0,353
|
21,809
|
0,259
|
-67,978
|
4,925
|
2
|
25,12
|
0,287
|
0,989
|
25,206
|
0,003
|
27,214
|
0,083
|
8,448
|
0,664
|
3
|
33,6
|
23,949
|
0,287
|
40,506
|
0,206
|
33,959
|
0,011
|
53,155
|
0,582
|
4
|
45,08
|
47,611
|
0,056
|
56,713
|
0,258
|
42,374
|
0,060
|
84,875
|
0,883
|
5
|
61,77
|
71,273
|
0,154
|
73,631
|
0,192
|
52,876
|
0,144
|
109,479
|
0,772
|
6
|
72,06
|
94,935
|
0,317
|
91,137
|
0,265
|
65,979
|
0,084
|
129,581
|
0,798
|
7
|
89,7
|
118,597
|
0,322
|
109,148
|
0,217
|
82,331
|
0,082
|
146,578
|
0,634
|
8
|
111,43
|
142,259
|
0,277
|
127,603
|
0,145
|
102,734
|
0,078
|
161,301
|
0,448
|
9
|
134,44
|
165,921
|
0,234
|
146,454
|
0,089
|
128,194
|
0,046
|
174,288
|
0,296
|
10
|
162,11
|
189,583
|
0,169
|
165,666
|
0,022
|
159,963
|
0,013
|
185,905
|
0,147
|
11
|
208,26
|
213,245
|
0,024
|
185,208
|
0,111
|
199,606
|
0,042
|
196,414
|
0,057
|
12
|
243,09
|
236,907
|
0,025
|
205,054
|
0,156
|
249,072
|
0,025
|
206,008
|
0,153
|
13
|
278,17
|
260,569
|
0,063
|
225,184
|
0,190
|
310,798
|
0,117
|
214,833
|
0,228
|
14
|
343,8
|
284,231
|
0,173
|
245,578
|
0,286
|
387,821
|
0,128
|
223,004
|
0,351
|
Сумма
|
1825,95
|
1825,992
|
5,441
|
1708,291
|
2,494
|
1864,730
|
1,173
|
1825,892
|
10,937
|
Среднее
|
|
|
0,389
|
|
0,178
|
|
0,084
|
|
0,781
|
38,9%
больше допустимых 10%, т.е модель составлена некорректно.
17,8%
больше допустимых 10%, т.е. модель составлена некорректно.
8,4%
меньше допустимых 10%, т.е. модель составлена некорректно.
78,1%
больше допустимых 10%, т.е. модель составлена некорректно.
По
полученным данным видно, что только экспоненциальная модель отражает указанную
зависимость.
Наилучшей
из предложенных моделей является экспоненциальная зависимость, она отражает
98,75% изменения цены на билет от времени.
.
Выполним точный прогноз на 2012, 2013 и 2014 годы:
17,478*EXP(0,2214*15)=
483,9312965 (руб.)
17,478*EXP(0,2214*16)=
603,8603407 (руб.)
17,478*EXP(0,2214*17)=
753,5104957 (руб.).
3.
Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции.
Для
этого составляем первую вспомогательную таблицу 10.
Таблица
10
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17,32
|
|
|
|
|
|
|
2
|
25,12
|
17,32
|
-115,34
|
-96,69
|
11152,18
|
13302,78
|
9349,25
|
3
|
33,60
|
25,12
|
-106,86
|
-88,89
|
9498,74
|
11418,57
|
7901,71
|
4
|
45,08
|
33,60
|
-95,38
|
-80,41
|
7669,47
|
9096,90
|
6466,02
|
5
|
61,77
|
45,08
|
-78,69
|
-68,93
|
5424,06
|
6191,75
|
4751,56
|
6
|
72,06
|
61,77
|
-68,40
|
-52,24
|
3573,20
|
4678,24
|
2729,18
|
7
|
89,70
|
72,06
|
-50,76
|
-41,95
|
2129,36
|
2576,34
|
1759,93
|
8
|
111,43
|
89,70
|
-29,03
|
-24,31
|
705,71
|
842,61
|
591,05
|
9
|
134,44
|
111,43
|
-6,02
|
-2,58
|
15,53
|
36,21
|
6,66
|
10
|
162,11
|
134,44
|
21,65
|
20,43
|
442,32
|
468,82
|
417,32
|
11
|
208,26
|
162,11
|
67,80
|
48,10
|
3261,19
|
4597,15
|
2313,46
|
12
|
243,09
|
208,26
|
102,63
|
94,25
|
9672,94
|
10533,39
|
8882,77
|
13
|
278,17
|
243,09
|
137,71
|
129,08
|
17775,69
|
18964,68
|
16661,25
|
14
|
343,80
|
278,17
|
203,34
|
164,16
|
33380,36
|
41348,09
|
26948,00
|
Сумма
|
1825,95
|
1482,15
|
-17,32
|
0,00
|
104700,76
|
124055,55
|
88778,16
|
Среднее
|
140,46
|
114,01
|
-1,33
|
0,00
|
8053,90
|
9542,73
|
6829,09
|
Величина коэффициента автокорреляции уровней ряда первого порядка
измеряет зависимость между соседними уровнями ряда при лаге 1.
Следовательно
,
где
;
.
Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента
автокорреляции второго порядка.
Таблица 11
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17,32
|
|
|
|
|
|
|
2
|
25,12
|
|
|
|
|
|
|
3
|
33,60
|
17,32
|
-118,56
|
-83,01
|
9842,07
|
14057,07
|
6890,94
|
4
|
45,08
|
25,12
|
-107,08
|
-75,21
|
8053,85
|
11466,66
|
5656,79
|
5
|
61,77
|
33,60
|
-90,39
|
-66,73
|
6032,04
|
8170,80
|
4453,12
|
6
|
72,06
|
45,08
|
-80,10
|
-55,25
|
4425,80
|
6416,41
|
3052,75
|
7
|
89,70
|
61,77
|
-62,46
|
-38,56
|
3901,56
|
1487,00
|
8
|
111,43
|
72,06
|
-40,73
|
-28,27
|
1151,58
|
1659,14
|
799,29
|
9
|
134,44
|
89,70
|
-17,72
|
-10,63
|
188,42
|
314,09
|
113,03
|
10
|
162,11
|
111,43
|
9,95
|
11,10
|
110,40
|
98,95
|
123,17
|
11
|
208,26
|
134,44
|
56,10
|
34,11
|
1913,39
|
3146,93
|
1163,38
|
12
|
243,09
|
162,11
|
90,93
|
61,78
|
5617,35
|
8267,81
|
3816,56
|
13
|
278,17
|
208,26
|
126,01
|
107,93
|
13599,78
|
15877,89
|
11648,53
|
14
|
343,80
|
243,09
|
191,64
|
142,76
|
27357,85
|
36724,93
|
20379,94
|
Сумма
|
1825,95
|
1203,98
|
-42,44
|
0,00
|
80701,19
|
110102,24
|
59584,50
|
Среднее
|
152,16
|
100,33
|
-3,54
|
0,00
|
6725,10
|
9175,19
|
4965,37
|
Следовательно
,
где
,
Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента
автокорреляции третьего порядка.
Таблица 12
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17,32
|
|
|
|
|
|
|
2
|
25,12
|
|
|
|
|
|
|
3
|
33,60
|
|
|
|
|
|
|
4
|
45,08
|
17,32
|
-120,92
|
-70,03
|
8468,15
|
14620,55
|
4904,71
|
5
|
61,77
|
25,12
|
-104,23
|
-62,23
|
6486,33
|
10862,95
|
3873,03
|
6
|
72,06
|
33,60
|
-93,94
|
-53,75
|
5049,37
|
8823,87
|
2889,45
|
7
|
89,70
|
45,08
|
-76,30
|
-42,27
|
3225,29
|
5821,00
|
1787,06
|
8
|
111,43
|
61,77
|
-54,57
|
-25,58
|
1395,98
|
2977,39
|
654,52
|
9
|
134,44
|
72,06
|
-31,56
|
-15,29
|
482,60
|
995,75
|
233,90
|
10
|
162,11
|
89,70
|
-3,89
|
2,35
|
-9,12
|
15,10
|
5,51
|
11
|
208,26
|
111,43
|
42,26
|
24,08
|
1017,58
|
1786,29
|
579,67
|
12
|
243,09
|
134,44
|
77,09
|
47,09
|
3630,10
|
5943,57
|
2217,13
|
13
|
278,17
|
162,11
|
112,17
|
74,76
|
8385,76
|
12583,13
|
5588,51
|
14
|
343,80
|
208,26
|
177,80
|
120,91
|
21497,70
|
31614,46
|
14618,35
|
Сумма
|
1825,95
|
960,89
|
0,00
|
0,00
|
59629,74
|
96044,04
|
37351,83
|
Среднее
|
166,00
|
87,35
|
0,00
|
0,00
|
5420,89
|
8731,28
|
3395,62
|
Следовательно
,
где
,
.
Составляем вспомогательную таблицу для расчёта коэффициента
автокорреляции четвёртого порядка.
Таблица 13
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
17,32
|
|
|
|
|
|
|
2
|
25,12
|
|
|
|
|
|
|
3
|
33,60
|
|
|
|
|
|
|
4
|
45,08
|
|
|
|
|
|
|
5
|
61,77
|
17,32
|
-120,83
|
-57,94
|
7000,96
|
14598,68
|
3357,39
|
6
|
72,06
|
25,12
|
-110,54
|
-50,14
|
5542,56
|
12217,99
|
2514,32
|
7
|
89,70
|
33,60
|
-92,90
|
-41,66
|
3870,28
|
8629,48
|
1735,81
|
8
|
111,43
|
45,08
|
-71,17
|
-30,18
|
2147,97
|
5064,46
|
911,01
|
9
|
134,44
|
61,77
|
-48,16
|
-13,49
|
649,76
|
2318,90
|
182,06
|
10
|
162,11
|
72,06
|
-20,49
|
-3,20
|
65,61
|
419,64
|
10,26
|
11
|
208,26
|
89,70
|
25,67
|
14,44
|
370,53
|
658,69
|
208,43
|
12
|
243,09
|
111,43
|
60,50
|
36,17
|
2187,92
|
3659,65
|
1308,05
|
13
|
278,17
|
134,44
|
95,58
|
59,18
|
5655,84
|
9134,58
|
3501,92
|
14
|
343,80
|
162,11
|
161,21
|
86,85
|
14000,17
|
25987,05
|
7542,40
|
Сумма
|
1825,95
|
752,63
|
-121,12
|
0,00
|
41491,61
|
82689,11
|
21271,65
|
Среднее
|
182,60
|
75,26
|
-12,11
|
0,00
|
4149,16
|
8268,91
|
2127,16
|
Следовательно
,
где
,
.
.
Последовательность коэффициентов корреляции , где , как функция интервала между
наблюдениями называется автокорреляционной функцией.
Все
полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица
14
Лаг
|
Коэффициент автокорреляции уровней
|
1
|
0,997674
|
2
|
0,996358
|
3
|
0,99557
|
4
|
0,989317
|
Рис. 7 Функция автокорреляции
Так как самым большим оказался коэффициент автокорреляции первого
порядка, ряд содержит только тенденцию.
экономика кредит экспоненциальный автокорреляция
Список источников
1.
Валентинов В.А.
Эконометрика: Практикум - М.: Дашков и К, 2008 - 436 с.
2.
Джонстон Дж. Эконометрические
методы. - М.: Статистика, 1990.
3.
Доугерти К.
Введение в эконометрику: учеб. для студентов вузов/ К. Доугерти.- М.:
Юрайт-Издат, 2007.- 416 с.
4.
Доугерти К.
Введение в эконометрику: учебник для вузов. - 2 - е изд. - М.: ИНФРА - М, 2007.
- 432 с.
5.
Елисеева И.И.
практикум по эконометрике (+CD): учеб. пособие/ И.И. Елисеева, С.В. Курышева,
Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой.- 2-е изд., перераб. и доп.- М.:
Финансы и статистика, 2006.- 344 с.
6.
Замков О.О.
Толстопятенко А.В. Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике.- М.: ДИС,
2003.
7.
Магнус Я.Р.,
Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. - М.: Дело, 2003.
8.
Новиков А.И.
Эконометрика: учеб. пособие/ А.И. Новиков.- 2-е изд., испр. и доп.- М.: Инфра-м,
2007.- 144 с.
9.
Практикум по
эконометрике: учебное пособие / И.И. Елисеева. С.В. Курышева, Д.М. Гордиенко и
др; под ред. И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2003
10.Эконометрика Учебное пособие /И.И. Елисеева. С.В.
Курышева, Д.М. Гордиенко и др. - М.: Финансы и статистика, 2003.
Интернет-ресурсов
· Материалы по книге К. Доугерти на сайте издательства Oxford Univesity Press;
· Сайт журнала "The Econometrics
Journal".
Дополнительные полезные адреса Интернета:
· Журнал «Экономика и математические методы»»;